dx,dy是什麼？

時間 2021-01-21 標籤微積分微分導數

這個問題讓我們從曲線的微分開始說起。

1 曲線的微分

比如，有曲線 :

給出 $x\in U(x_0,\Delta x)$ 的曲線段:

要找到一個直線段來近似這個曲線段，也就是找到這個曲線段的微分：

此微分的特點是，當 $\Delta x\to 0$ 時，越來越逼近曲線段：

2 切線

這個微分其實就是切線。

2.1 最初印象

初學幾何的時候，切線是這麼定義的：

比如這就是圓、橢圓的切線：

但是這個定義推廣到所有曲線上是不成立的：

2.2 割線的極限

我們需要用極限來定義切線。比如說，要求曲線在點的切線：

在附近找一點，過兩點作直線，這根直線也稱爲割線：

然後尋找與之間的點，作出割線：

以此類推，找到點 $B_3,B_4,\cdots,B_n$ ，作出割線：

把這些割線組成數列：

$\{a_n\}=\{B_1A,B_2A,B_3A,\cdots,B_nA\}$

它的極限 $\lim_{n\to\infty}a_n$ 就是切線：

3 導數

剛纔只是給出了切線的定義，但是還是不能把切線求出來。下面來看看怎麼求。

3.1 斜率

要求點的切線，知道了點座標爲，以及切線的斜率：

其中 $斜率=\tan\alpha$ ，根據直線的點斜式，可求得切線函數：

$\frac{g(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\tan\alpha\implies g(x)=\tan\alpha(x-x_0)+f(x_0)$

就可以得到切線的函數。

3.2 導數

容易有以下推論：

$切線=割線的極限\implies 切線的\color{Magenta}{斜率}=割線的\color{Magenta}{斜率}的極限$

所以來看看割線的斜率怎麼求吧。假設要求點的切線的斜率，隨便在附近找一點作割線：

可以看到當 $B\to A$ 的時候（這也表明了切線是割線的極限），兩者斜率不斷逼近：

先把割線的斜率 $\tan\beta$ 算出來，假設：

因此：

$\tan\beta=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

根據剛纔的分析可知：

$切線的斜率=\tan\alpha=\lim_{B\to A}\tan\beta=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

這個極限就被稱爲 $\color{Salmon}{導數}$ 。

如果，不光在點可以作出切線，也就是不光在點可導，而是在某個開區間 $x\in I$ 內都可導，這就是 $\color{Salmon}{導函數}$ ：

不少教科書、文檔會出現如下的符號，這裏也一併引入：

定義 $D=\frac{d}{dx}$ ，稱之爲 $\color{Salmon}{D算子}$ ，導函數可以用之表示爲：

$Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$

有時候寫作，表明對自變量求導。

算子，英文爲「operator」，操作的意思。

算子和函數還是很接近的，只是有以下區別：

$\begin{array}{c|c} \hline\\ \quad 函數 \quad&\quad 數到數的映射 \quad\\ \quad 算子 \quad&\quad 函數到函數的映射 \quad\\ \\\hline\end{array}$

在這裏，算子完成了如下函數之間的映射：

$f(x)\xrightarrow{\quad \color{red}{D}\quad}f'(x)$

4 切線函數與微分函數

好了，咱們有了導數，可以來求切線函數以及微分函數了。

4.1 切線函數

就切線而言，知道要經過，也知道斜率是導數，可以用直線的點斜式得到切線函數：

4.2 微分函數

雖然之前一直說切線就是微分，但是微分函數和切線函數有所不同，因爲它們在不同的座標系。讓我們一步步來，把這個關鍵點說清楚。

首先令 $\Delta x=x-x_0$ ，切線函數就變爲了：

$g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\implies g(x)=f'(x_0)\Delta x+f(x_0)$

然後在以點爲原點建立直角座標系（姑且稱爲微分座標系吧）：

以點爲原點建立的微分座標系中有，。這樣在微分座標系中切線方程就很簡單了：

$g(x)=f'(x_0)\Delta x+f(x_0)\implies h(x)=f'(x_0)\Delta x$

經過一系列操作終於得到了微分函數：

$f(x)\xrightarrow{\ D\ }f'(x)\xrightarrow{\ 點斜式\ }切線函數g(x)\xrightarrow{\ 更換座標系\ }微分函數h(x)$

數學上把一系列操作用一個符號 $\textrm{d}$ 來表示，也可稱爲 $\color{Salmon}{\textrm{d}算子}$ ：

$f(x)\underbrace{\xrightarrow{\ D\ }f'(x)\xrightarrow{\ 點斜式\ }切線函數g(x)\xrightarrow{\ 更換座標系\ }微分函數h(x)}_{\color{red}{\textrm{d}}}$

微分 $\textrm{d}$ 算子完成了下列的函數映射：

$f(x)\xrightarrow{\quad \color{red}{\textrm{d}}\quad }微分函數h(x)$

所以微分函數也寫作：

$\textrm{d}y=\textrm{d}f(x)=f'(x_0)\Delta x$

表示把原函數通過 $\textrm{d}$ 操作變爲了微分函數 $\textrm{d}y$ ，這樣也區別了微分函數和座標系不同。

$\Delta x=x-x_0$ ，因爲是變量，所以 $\Delta x$ 實際上表示的是整個軸：

因爲 $\Delta x$ 代表軸這根直線，而直線的微分，根據以直代曲的思想，其實就是自己，所以：

$\textrm{d}x=\Delta x$

因此，這就是微分的代數形式：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\Delta x\implies\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x$

切線函數和微分函數的區別在於，前者在座標系下，後者在 $\textrm{d}y\textrm{d}x$ 座標系下：

因爲微分的代數形式如上，所以導數也可以記作：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x\implies f'(x_0)=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$

所以導數也稱爲「微商」，即微分與微分的商。

4.3 微分的自變量、因變量

本節一直都在說，微分是函數：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x$

那麼它的自變量是什麼，因變量是什麼？

微分函數在 $\textrm{d}y\textrm{d}x$ 座標系下，令 $\textrm{d}y=h(x),\textrm{d}x=x$ ，換元之後就回到了座標系：

$\textrm{d}y=f'(x_0)\textrm{d}x\implies h(x)=f'(x_0)x$

可見，自變量是 $\textrm{d}x=x$ ，因變量是 $\textrm{d}y=h(x)$ 。

如果不光是求點的微分，就像導函數一樣，求某個開區間的微分，那麼微分函數是二元函數：

$\textrm{d}y=f'(x)\textrm{d}x\implies h(w,x)=f'(w)x$

4.4 微分是線性函數

雖然兩者都是直線，但因爲所在座標系不同，所以切線函數和微分函數有一個重大的區別：

這個區別說明：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad\quad&\quad線性函數\quad\\ \hline \\ \quad \color{blue}{切線函數} \quad&\quad ☓\quad\\ \quad \color{orange}{微分函數} \quad&\quad \checkmark\quad\\ \\\hline\end{array}$

根據微分是線性函數這點，我們可以很方便地運用線性代數的知識來求解法線函數。

4.5 法線函數

在切點與切線垂直的直線就是法線：

放在 $\textrm{d}y\textrm{d}x$ 座標系中，隨便找到切線方向、法線方向兩個向量：

即（t代表tangent，n代表normal，分別是英文的切線和法線）：

$\boldsymbol{t}=\begin{pmatrix}1\\f'(x_0)\end{pmatrix}\quad\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}-1\\N\end{pmatrix}$

根據線性代數的知識，知道兩個正交向量點積爲0，因此：

$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}1\\f'(x_0)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\N\end{pmatrix}=0\implies -1+f'(x_0)N=0\implies N=\frac{1}{f'(x_0)}$

所以：

$\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}-1\\\frac{1}{f'(x_0)}\end{pmatrix}\implies 法線斜率爲：-\frac{1}{f'(x_0)}$

知道法線斜率，並且知道過，就可以求出座標系下的法線函數：

$i(x)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$

最新版本可以參看：dx,dy是什麼？