高等數學：第八章 多元函數的微分法及其應用（7）方向導數與梯度

§8.7  方向導數與梯度less

1、方向導數函數

1、定義spa

設函數在點的某一鄰域內有定義,自點引射線,設軸正向到射線的轉角爲,爲鄰域內且在上的另外一點。class

若比值file

這裏,當沿着趨向於時的極限存在,稱此極限值爲函數在點沿方向的方向導數,記做。sso

即    程序

2、方向導數的存在性條件(充分條件)及計算im

【定理】若在點可微分, 則函數在該點沿着任一方向的方向導數都存在, 且有margin

其中爲軸正向到方向的轉角。img

【證實】據在點可微分,有

【例1】求函數在點處沿從點到點的方向的方向導數。

解:軸到方向的轉角爲，而

在點處，有

故 

注:方向導數的概念及計算公式,可方便地推廣到三元函數。

2、梯度

1、定義

設函數在平面區域內具備一階連續偏導數,那麼對於任一點,均可以定義向量

並稱此向量爲函數在點的梯度,記做。

即 

2、方向導數與梯度的關係

設是方向上的單位向量,則

當方向與梯度方向一致時,,從而達到最大值；也就是說, 沿梯度方向的方向導數達到最大值。

另外一方面, 

這代表:函數在點增加最快的方向與方向導數達到最大的方向(梯度方向)是一致的。

3、等高線及其它

二元函數在幾何上表示一個曲面,該曲面被平面所截得的曲線的方程爲

此曲線在面上的投影是一條平面曲線,它們在平面上的方程爲。

對於曲線上的一切點, 函數的值都是, 因此,咱們稱平面曲線爲函數的等高線。

【例2】曲面的等高線爲 (),

這些等高線爲同心圓。

【例3】做拋物線在面上的等高線。

運行matlab程序gs0801.m。