數學的公理化及抽象化

高度分工

現如今社會進入了高度分工的階段，人們乾的事被越來越侷限在某個領域，甚至是某個領域很小的範圍內。人們受到的教育也越來越長，研究的問題也越來越細越來越深越來越抽象。現在要想誕生以前的全才幾乎不太可能了，主要是因爲以前很多方面學科都都還比較淺，很多現在看似很簡單的成果都能載入史冊。印象比較深的全才是馮諾依曼，想了解的可以看看天才的拓荒者。

數學分支

在數學領域也是類似，從古代的計數算術簡單幾何開始，然後以微積分解析幾何爲基礎的近代數學，再到以集合論和公理化爲基礎的現代數學。現在的數學有很多分支，整體結構龐雜，又深又抽象以至於很多理論對多數人來說已經無法理解。數學具有嚴謹的邏輯，但數學的發展不能一味的高深抽象，也應該讓數學應用更廣泛，現代數學也分爲兩大範疇，即純粹的數學和應用數學。

集合論

集合論由德國數學家康托爾創立，起初集合建立在數集和點集上，後來擴展到任何元素的集合，可以是函數集合或幾何集合。由於它的抽象使得它能被用於數學其它分支中，也使得集合論成爲數學的基礎。集合是某些對象的總體，這些對象可以是有限的也可以是無限的。

公理化

說到公理化最早是由古希臘數學家歐幾里得發現並使用，比如衆所周知的《幾何原本》便是應用了公理化的方法，其中以五個公設和五個公理作爲基礎，提出了119個定義和465條命題及證明，由此建立起歷史上第一個數學公理體系。當然歐幾里得的公理體系並不完善，後面德國數學家希爾伯特重新定義了現代的公理化方法。也就是這個大名鼎鼎數學界被稱爲數學界的亞歷山大，而且在1900年在國際數學家大會上提出了23個數學問題，爲20世紀的數學發展指明瞭方向。

抽象化

先看抽象這個概念，它的英文單詞爲abstract，我們經常在論文開頭看到這個詞。所以抽象實際就是摘要，摘要做的事就是提煉出概要。而抽象則是從自然、世界、事物中提取出簡潔準確的描述。以集合論爲基礎並且在公理化的方法下，數學也朝着更加抽象發展，比如實變函數論、泛函分析、拓撲學和抽象代數。

數學與物理

數學這個威力巨大的工具向物理學滲透，能使用數學來描述物理的原因是因爲數學能簡潔清晰地通過符號來表述物理規律。18世紀時主要是經典力學與數學的結合，19世紀數學則滲透入電磁學，而20世紀後數學則融入到相對論和量子力學中。愛因斯坦的狹義相對論通過數學找到了很完美的描述，物理理論的基本原理通過數學模型來表述邏輯結構。數學幫助物理形成統一體系，而反過來物理對數學工具的新需求也推動着數學的發展。

數學與計算機

計算機科學也一樣，計算機的每次大發展都離不開數學，而計算機的不斷髮展也推進數學的研究。比如屬於計算機科學分支之一的人工智能，儘管現在人工智能已經被炒作的大熱，而且能在圍棋方面打敗人類，但人工智能還有很多數學問題沒有解決，只有在數學領域有了理論突破纔會有更本質的發展，而在這過程數學也得到了發展。數學家馮諾依曼提出了將程序存儲的想法，以及並行處理和存儲數據的理念，深深影響計算機科學的發展。數學家圖靈提出的圖靈計算機模型，以數理邏輯語言來設計計算機，將人們使用紙筆進行數學運算的過程進行抽象。他還最早研究瞭如何讓計算機擁有思考能力，提出了著名人工智能領域的圖靈測試。香農將布爾的邏輯運算引入計算機，以及他提出的信息論這些都與數學相關。

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