線性代數的問題：是否存在這樣的矩陣，它滿足正交對角化的條件，但它不是實對稱矩陣呢？

對稱矩陣的對角化問題

定理 :對稱矩陣的特徵值是實數。

定理：設A是n階對稱陣，則必有正交陣P，使得 P − 1 A P = P T A P = Λ P^{-1}AP=P^{T}AP= \Lambda P−1AP=PTAP=Λ,其中 Λ \Lambda Λ是以A的n個特徵值爲對角元的對角陣。

今天 由： 實對稱矩陣一定可以相似對角化，並且可用正交矩陣對角化。想到了一點東西：

命題：實對稱矩陣 ⇒ \Rightarrow ⇒ 正交對角化

逆否命題： 若一個矩陣不能正交對角化，那它一定不是對稱矩陣。

然後想了想，是否存在 可以正交對角化，但它不是實對稱的矩陣的呢？ 首先，如果可正交對角化，那麼一定是對稱的，那麼不是實對稱的情況只能出現在 複數矩陣了唄。

可正交對角化，則它是對稱的，下面回答了這個問題。

這裏貼出百度知道的回答：

問：一般矩陣，非實對稱矩陣，如果它滿足相似對角化的條件 那它可不可以正交對角化？

答：

所以結論是：
A是實矩陣，滿足正交對角化的條件，它卻不是實對稱矩陣，這樣的矩陣是不存在的！！！

附上這個問題的鏈接
一般矩陣，非實對稱矩陣，如果它滿足相似對角化的條件 那它可不可以正交對角化