高數打卡11

計算下列對座標的曲面積分：
$\iint_{\sum}zdxdy+xdydz+ydzdx$∬∑​zdxdy+xdydz+ydzdx
其中 $\sum$∑是柱面 $x^2+y^2=1$x2+y2=1被平面 $z=0$z=0及 $z=3$z=3所截得的在第一卦限內的部分的前側；

由於柱面 $x^2+y^2=1$x2+y2=1在 $xOy$xOy 面上的投影爲 $0,$0,因此 $\iint_{\sum}zdxdy=0.$∬∑​zdxdy=0.
又
$D_{yz}=\{(y,z)|0\leq y\leq 1,0\leq z\leq 3\}\\ D_{zx}=\{(x,z)|0\leq z\leq 3,0\leq x\leq 1\}$Dyz​={(y,z)∣0≤y≤1,0≤z≤3}Dzx​={(x,z)∣0≤z≤3,0≤x≤1}
因 $\sum$∑取前側,故
$\iint_{\sum}zdxdy+xdydz+ydzdx=\iint_{\sum}xdydz+\iint_{\sum}ydzdx\\ =\iint_{D_{yz}}\sqrt{1-y^2}dydz+\iint_{D_{zx}}\sqrt{1-y^x}dzdx\\ =\int_{0}^{3}dz\int_{0}^{1}\sqrt{1-y^2}dy+\int_{0}^{3}dz\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\\ =\frac{3}{2}\pi$∬∑​zdxdy+xdydz+ydzdx=∬∑​xdydz+∬∑​ydzdx=∬Dyz​​1−y2 ​dydz+∬Dzx​​1−yx ​dzdx=∫03​dz∫01​1−y2 ​dy+∫03​dz∫01​1−x2 ​dx=23​π