守恆定律、連續性方程和玻印亭矢量

時間 2021-01-18 標籤守恆定律連續性方程玻印亭矢量物理電動力學

守恆的東西總是人們樂於接受的，總是覺得冥冥之中有種神祕力量維持着這份永恆。

鑽石恆久遠，一顆永流傳—–魯迅沒說。

確實，雖然這個世界瞬息萬變，滄海桑田，中國更是日新月異，但總有些東西是守恆的，目前人們發現的有質量守恆、電荷守恆、能量守恆、動量守恆等，還有別的在某些條件下才成立的守恆。

在經典力學裏，動量守恆是牛三定律的直接推論（見下面）。

在一個封閉系統裏（沒有外力，與外界沒有物質或能量交換），假設存在兩個相互作用的粒子，根據牛三定律

$F 1 = d p 1 d t$
$F 2 = d p 2 d t$
$d p 1 d t = - d p 2 d t$
對上式做一個簡單的處理，得到
$d d t (p 1 + p 2) = 0$
即
$p 1 + p 2 = c o n s t .$

動量守恆是空間各向同性（或叫空間平移不變性）的直接數學結果，也就是說物理定律不因所在位置的不同而存在差異。比如，牛頓定律在月球上也一樣適用。

在哈密頓力學裏，動量是位置的正則共軛量，兩者在哈密頓流所構成的相空間裏構成了一定的面積。

在線性變換下，面積守恆，且形狀不會畸變；如果存在非線性力，則面積雖守恆但形狀畸變，即所謂的混沌出現；如果出現耗散力，則面積不再守恆。

因爲只要在相空間裏存在粒子，則必定存在面積，此時一個位置會對應一個動量分佈，同理，一個動量會對應一個位置分佈，也就是說這兩者沒法同時確定，這也就是海森堡不確定性原理的一個體現。（其實，相空間裏的一個位置動量共軛對，對應了一個粒子所處的狀態）。但測量的時候就不再是這樣了。

能量守恆也是一種對稱性的體現，那就是時間。也就是說，物理定律不會隨着時間的推移而存在差異，牛頓時期的三大定律到現在仍然成立（有人會說，現在老牛的東西過時了，有了相對論，但是，牛頓那個時代難道沒有相對論嗎？相對論一直都在，只是愛因斯坦在前不久才發現了它而已）。

其實，由諾特（一個熱愛數學卻備受冷眼的女數學家）定理可以直接推導出能量守恆。

該定理說任何連續一個對稱性必定包含一個守恆量。除了時間平移不變和空間平移不變，還有個空間旋轉不變，這直接導致了角動量守恆。開普勒面積守恆定律和行星在平面上的向心運動都是角動量守恆的體現。

與動量一樣，哈密頓力學裏能量和時間是一對正則共軛量。所以能量和時間沒法同時測準，測不準原理的再次體現！

哈密頓力學看似是直接把拉格朗日力學做了個勒讓德變換，即把廣義速度變成了廣義動量。

貌似只是數學上的一點改動，其實這一轉換直接導致了對稱性和守恆量在光天化日之下的關聯，而目光敏銳的諾特找到了這種關聯，並得出了諾特定理。

能量守恆說能量既不會創造也不會消失，只能從一點轉移到另一點。

但這種說法有個明顯的缺點，能量能從一個地方突然消失然後在另一個地方突然出現嗎？顯然是不可能的，超距作用已經被證僞。

一個地方的能量隨着時間增加，只能是另一個地方的能量以能流密度的方式從該地方翻越崇山峻嶺不間斷的流到了這個地方。

就好比水流一樣，不可能憑空突然出現一個泉水而另一個地方突然消失了一個泉水。只能是通過水管或地下水在泉水之間流通。

同理，電荷在某個地方堆積，必定是電流在那有流進或流出。

可見，連續性方程使得守恆定律更加嚴密化。

以流體爲例，在 dt 時間裏以速度 v 流過面積 ds 的總質量爲

d m = - ρ d s \cdot v d t

這裏負號很重要，是有物理意義的。當流體要流進某一個體積時，流體的速度矢量與體積外表面的法線矢量構成的角度 α 滿足條件

$α \in (π 2, π]$
此時 ds⋅v<0 ，而從物理上來說，對於同一種物質，流進去意味着量的增加，因此在數學上需要引入負號來化解這種尷尬處境。

猛然一看覺得有悖常理，總覺得負號意味着減少。但這個負號將物理意義與邏輯嚴密的數學關係聯繫了起來，使得隨後的解析推導只在數學框架下進行，同時也可以隨時驗證公式背後的物理意義體現得是多麼正確。

可以輕鬆驗證一下，當流體流出體積時，流體的速度矢量與體積外表面的法線矢量構成的角度 α 滿足條件

$α \in [0, π 2)$
此時 ds⋅v>0 ，所以 dm<0 ，物理意義很明顯，流出去後區域內的質量減少。

單位時間裏通過面積 S 的質量爲

\partial M \partial t = - \iint S ρ v \cdot d s

令 j=ρv 表示通量密度，則

\partial M \partial t = - \iint S j \cdot d s

對於一個封閉的系統，怎麼判斷系統裏的質量增加了還是減少了呢？假設系統裏沒有「源」也沒有「匯」，則質量增加和減少只能通過系統表面的質量流密度是流進還是流出來判斷。

該系統單位時間裏質量的變化率爲

\partial \partial t ∭ V ρ d V = - \iint \partial V j \cdot d s

（這裏符號 ∬∂V 表示體積的整個封閉表面）

對上式右邊應用散度定理，得到

\partial \partial t ∭ V ρ d V = - ∭ V \nabla \cdot j d V

因爲體積是任意選定的，所以選擇一個無窮小的體積元 dV ，該等式也成立。根據黎曼和定義，積分在小區間可以轉成面積求和，所以

\partial \partial t ρ d V = - \nabla \cdot j d V

即

\partial ρ \partial t = - \nabla \cdot j, w i t h j = ρ v

上式的物理意義：定性上看，如果某些東西，比如電荷或質量，從一個體積裏跑了出來，意味着該體積是一個「源」，所以散度爲正值，同時得到結論密度減小。反之亦然；定量上看，拋開方向不說，密度的變化量正比於通量密度在各個方向上的導數和，哪個方向通量密度梯度大則貢獻多，對於流體來說就是速度快。

上式即是守恆量的連續性方程，對於不同的守恆量， ρ 和 j 的意義不一樣。對於電荷、質量和能量， ρ 分別表示電荷密度、質量密度和能量密度， j 則表示電流密度、質量流密度和能流密度。

如果在封閉體積內存在「源」或「匯」，則上式需要修正，右邊加上一項單位時間內單位體積裏該量的變化率， σ

\partial ρ \partial t = - \nabla \cdot j + σ, w i t h j = ρ v

σ>0 爲「源」， σ<0 爲「匯」。

在量子力學裏，概率密度是波函數的幅值，即

ρ (r, t) = Ψ * (r, t) Ψ (r, t) = | Ψ (r, t) | 2

在 t 時刻粒子位於體積 V 內的概率爲

P = P r \in V (t) = \int V ρ (r, t) d V = \int V | Ψ (r, t) | 2 d V

總概率爲1 體現了概率的守恆性。
可見將概率等價爲質量，概率密度等價爲質量密度，則概率流也滿足連續性方程。

在電動力學裏，能流密度就是所謂的玻印亭矢量，

S = E \times H

如果將能量密度等價爲電荷密度，能流密度等價爲電流密度，則能量守恆下的連續性方程在電動力學裏的表述爲

\partial u \partial t = - \nabla \cdot S

玻印亭矢量的國際單位是 W/m2 ，表示了通過單位面積的功率，或者通過單位面積單位時間的能量。

玻印亭矢量的方向即電磁場能量流動的方向，根據定義式，這個方向同時垂直於電場和磁場。這也就說明了電磁波是橫波。

對於同軸線，內芯走信號，外芯接地，內外構成了一個迴路。電場沿着徑向且只存在於兩個導體之間的絕緣層裏， E=E(r)r^ ；同樣，磁場也只存在於絕緣層，但方向沿着角向， H=H(r)θ^ 。

所以，玻印亭矢量爲

S = E \times H = E (r) H (r) z^

可見，能流與電流同向，物理意義很明確，能量從發出端傳輸到了負載端。

對於圓柱導線，電場和磁場均以距離反比減小，所以能流以距離平方反比減小，其衰減更迅速。所以同軸線可以長距離傳輸弱信號，同時外層導體對外界干擾也起屏蔽作用。

連續性方程是很多以守恆定律爲基礎產生的微分方程的基石。比如 convection–diffusion equation, Boltzmann transport equation, Navier–Stokes equations，Fokker–Planck equation，Vlasov equation等。

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