一，對角化分解

$A=S\Lambda S^{-1}$

$S^{-1}AS=\Lambda$
A表示具備n個線性無關的x（特徵向量）的矩陣
S表示由x組成的可逆方陣，稱做特徵向量矩陣
$\Lambda$表示由A的λ（特徵值）做爲對角元素的對角矩陣
比較：A=LU（消元化分解），A=QR（正交化分解）html

二，矩陣的冪公式

$A^{k}=S\Lambda ^{k}S^{-1}$

$A^{k}x=\lambda ^{k}x$

A和 $A^{k}$具備相同的特徵向量
若是全部λ均知足|λ|<1，那麼當k→∞時， $A^{k}$→0web

三，從特徵值判斷矩陣是否可對角化

性質1：若是A的λ各不相同，那麼A的x都線性無關，可對角化

性質2：若是A有相同的λ，那麼沒法肯定A的x是否線性無關

若是A是單位矩陣，λ都=1，而x都線性無關
若是A是退化矩陣（上一講），λ相同，但x只有一個app

四，應用：求解差分方程 $u_{k+1}=Au_{k}$

前提：A可對角化

根據方程規律可導出： $u_{k+1}=Au_{k}=A^{k+1}u_{0}$

所以，方程的通解： $u_{k}=A^{k}u_{0}$

將初始條件 $u_{0}$帶入，便可得特解:

第一步：根據上一講的方法，求出A的Λ和S
第二步：將 $u_{0}$分解成 $u_{0}=S\Lambda _{u}$， $\Lambda _{u}$表示 $u_{0}$特徵值對角矩陣
第三步：根據已知條件S，求出 $\Lambda _{u}$
第四步：根據冪公式， $A^{k}u_{0}=S\Lambda ^{k}S^{-1}u_{0}=S\Lambda ^{k}S^{-1}S\Lambda _{u}=S\Lambda ^{k}\Lambda _{u}$
第五步：得特解， $u_{k}=S\Lambda ^{k}\Lambda _{u}$svg

五，應用：求解斐波那契數列通項公式 $F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}$， $F_{100}$的值

第一步，創建方程組： $\left\{\begin{matrix}F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}\\ F_{k+1}=F_{k+1}\end{matrix}\right.$

第二步，化爲矩陣： $\begin{bmatrix}F_{k+2}\\ F_{k+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &amp; 1\\ 1 &amp; 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_{k+1}\\ F_{k}\end{bmatrix}$

第三步，化爲標準型： $u_{k+1}=Au_{k}$

$u_{k+1}=\begin{bmatrix}F_{k+2}\\ F_{k+1}\end{bmatrix}$， $u_{k}=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\ F_{k}\end{bmatrix}$， $A=\begin{bmatrix}1 &amp; 1\\ 1 &amp; 0\end{bmatrix}$spa

第四步，根據上一節的方法求特解 $u_{99}=S\Lambda ^{99}\Lambda _{u}$

$F_{100}$爲 $u_{99}$第一行的值
此例中， $\left | \lambda _{1} \right |&gt; 1$， $\left | \lambda _{2} \right |&lt; 1$，所以當k→∞時， $\lambda _{1}^{k}→\infty$對應的解爲穩態解， $\lambda _{2}^{k} →0$對應的解爲暫態解orm