第五章 阻抗匹配與調諧 Smith圓圖

時間  2021-01-13 標籤 射頻

這裏寫目錄標題

5.1 Smith圓圖

Γ = Γ r + j Γ i = ∣ Γ ∣ e j θ L = ∣ Γ ∣ ∠ θ L \Gamma = {\Gamma _r} + j{\Gamma _i} = \left| \Gamma \right|{e^{j{\theta _L}}} = \left| \Gamma \right|\angle {\theta _L} ★
0 ≤ ∣ Γ ∣ ≤ 1 0 \le \left| \Gamma \right| \le 1

無耗傳輸線
Γ ( d ) = Γ 0 e − j 2 β d = Γ 0 e j 2 β z \Gamma \left( d \right) = {\Gamma _0}{e^{ - j2\beta d}} = {\Gamma _0}{e^{j2\beta z}}

歸一化電阻

歸一化電阻
圓心 ( r 1 + r , 0 ) \left( {\frac{r}{{1 + r}},0} \right)
半徑 ( 1 1 + r ) \left( {\frac{1}{{1 + r}}} \right)
半徑越小，電阻r越大
單位圓內， − 1 < 1 1 + r < 1 -1<{\frac{1}{{1 + r}}}<1 ，電阻 0 ≤ r < ∞ 0≤r<∞

歸一化電抗

歸一化電抗
圓心 ( 1 , 1 x ) \left( {1,\frac{1}{x}} \right)
半徑 ( 1 x ) \left( {\frac{1}{x}} \right)
半徑越小，電抗x越大

歸一化阻抗rx

合成

等駐波比圓

S W R = 1 + ∣ Γ ∣ 1 − ∣ Γ ∣ ⇒ ∣ Γ ∣ = S W R − 1 S W R + 1 SWR = \frac{{1 + \left| \Gamma \right|}}{{1 - \left| \Gamma \right|}}{\rm{ }} \Rightarrow \left| \Gamma \right| = \frac{{SWR - 1}}{{SWR + 1}} ★
圓心原點，代表匹配點：
終端匹配 Z L = Z 0 ⇒ Γ 0 = 0 {Z_L} = {Z_0} \Rightarrow {\Gamma _0} = 0
半徑 ∣ Γ ∣ \left| \Gamma \right|
圓與實軸的交點處的對應歸一化阻抗的r值=SWR值

導納gb

y = 1 z = Z 0 Z = 1 / 1 Z Z 1 / 1 Z 0 Z 0 = Y Y 0 = y r + j y i = 1 − Γ 1 + Γ = 1 + e j π Γ 1 − e j π Γ y = \frac{1}{z} = \frac{{{Z_0}}}{Z} = \frac{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 Z}} \right.} Z}}}{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{Z_0}}}} \right.} {{Z_0}}}}} = \frac{Y}{{{Y_0}}} = {y_r} + j{y_i} = \frac{{1 - \Gamma }}{{1 + \Gamma }} = \frac{{1 + {e^{j\pi }}\Gamma }}{{1 - {e^{j\pi }}\Gamma }} ★
e j π = − 1 {e^{j\pi }} = - 1
可以看出，這相當於將 Γ \Gamma 旋轉180度
將z對應的點旋轉180度，再讀出的z值就是導納值
將座標系旋轉180度讀出的值就是對應的導納值

對比

★★★ 阻抗圓圖 導納圓圖
圓心在上半平面1/x>0 電感性 電抗x>0 電納b<0
圓心在下半平面1/x<0 電容性 電抗x<0 電納b>0
最左邊 短路點 阻抗 z = 0 z=0 導納 y → ∞ y→∞
最右邊 開路點 阻抗 z → ∞ z→∞ 導納 y = 0 y=0

阻抗和導納
順時針 向信號源方向
逆時針 向負載方向

5.2 分立元件匹配網絡

內阻爲ZS的電壓源連接阻抗爲ZL的負載，要使負載上要獲得大的實功功率，需滿足 Z S = Z L ∗ {Z_S} = Z_L^ *
實際電路中，這種條件往往得不到滿足
要得到最大的功率傳輸需要在電源和負載之間插入一個網絡
插入網絡不能消耗能量，因此只能是LC網絡
分立元件匹配網絡
常用的匹配網絡有L ( Γ ) \left( \Gamma \right) 形，T形和π形網絡。
設計方法有解析法、Smith圓圖法等
解析法計算結果準確，但不夠直觀
Smith圓圖則較爲直觀，容易
實際上Smith圓圖也以解析式爲基礎，利用計算機輔助設計，也可以方便、精確的做到阻抗匹配。
Smith圓圖做阻抗匹配的基本思想是用特定的線段代表加入的匹配元件，當源阻抗點通過特定的線段與目標阻抗點連接時，就完成了阻抗匹配
假設有一個負載，阻抗爲ZL ，在Smith圓圖上表示爲一個點。即歸一化阻抗點
由於Smith圓圖是阻抗圖和導納圖合爲一體的，因此同一個點可以表示爲阻抗形式或導納形式
z = Z L Z 0 = r + j x y = Y L Y 0 = g + j b {z = \frac{{{Z_L}}}{{{Z_0}}}{\rm{ = }}r + jx}\\ {y = \frac{{{Y_L}}}{{{Y_0}}} = g + jb}
Y L = 1 Z L Y 0 = 1 Z 0 {{Y_L} = \frac{1}{{{Z_L}}}}\\ {{Y_0} = \frac{1}{{{Z_0}}}}
串聯並聯

★★★ 源阻抗
串聯電感 沿着等電阻圓（單位圓內，圓心靠右的） 向順時針移動
串聯電容 沿着等電阻圓（單位圓內，圓心靠右的） 向逆時針移動
並聯電感 沿着等電導圓（單位圓內，圓心靠左的） 向逆時針移動
並聯電容 沿着等電導圓（單位圓內，圓心靠左的） 向順時針移動

移動距離可以從座標增量中讀出。
串聯並聯2

L形匹配網絡

雙元件匹配網絡的8種電路結構
雙元件匹配網絡的8種電路結構

最佳功率傳輸

實現最佳功率傳輸的常規設計程序一般包括以下幾個步驟
1、求出歸一化源阻抗和目標阻抗（負載共軛）
在Smith圓圖中標記兩個阻抗點
2、在Smith圓圖中分別過這兩個點畫出等電阻圓或等電導圓
3、找出第1步和第2步所畫出圓的交點
交點的個數=可能存在的L形匹配網絡的數目
4、先沿着相應的圓將源阻抗點移動到上述交點，然後再沿相應的圓移動到目標阻抗點，根據這兩次移動過程就可以求出電感和電容的歸一化值
5、根據給定的工作頻率確定電感和電容的實際值

1、在上述步驟中，並不是一定要必需從源阻抗點向負載的共軛複數點移動
也可以將負載阻抗點變換到源阻抗的共軛複數點。
2、由於插入網絡總是串並聯相間，因此過一個點畫等電阻（電導）圓，過另一個點就畫等電導（電阻）圓
一般說來
電阻較大的點畫等電導圓
電阻較小的點畫等電阻圓

例題 ★教材276頁 PDF292頁

最大功率
已知晶體管在1.5GHz頻率點的輸出阻抗是 Z T = ( 100 + j 50 ) Ω {Z_{\rm{T}}} = (100 + {\rm{j}}50)\Omega
請設計一個如圖所示的L形匹配網絡，使輸入阻抗爲 Z A = ( 50 + j 10 ) Ω {Z_{\rm{A}}} = (50 + {\rm{j}}10)\Omega 的天線能夠得到最大功率
解：首先計算歸一化阻抗，假設特徵阻抗=50歐姆
特徵阻抗可以任意設定，計算方便就行
Z 0 = 50 Ω {Z_0} = 50\Omega ， Y 0 = 0.02 Ω − 1 {Y_0} = 0.02{\Omega ^{ - 1}}
歸一化輸出阻抗 z T = Z T / Z 0 = ( 100 + j 50 ) / 50 = 2 + j {z_{\rm{T}}} = {Z_{\rm{T}}}/{Z_0} =(100 + {\rm{j}}50)/50 = 2 + {\rm{j}}
歸一化輸出導納 y T = 1 / z T = 0.4 − j 0.2 {y_T} = 1/{z_{\rm{T}}}=0.4 - j0.2
歸一化輸入阻抗的共軛 z M = z A ∗ = Z A ∗ / Z 0 = ( 50 − j 10 ) / 50 = 1 − j 0.2 {z_{\rm{M}}} = z_{\rm{A}}^ * ={{Z_A^ * }}/{{{Z_0}}} = (50 - {\rm{j}}10)/50 = 1 - {\rm{j}}0.2
歸一化輸入導納的共軛 y M = 1 / z M = 0.92 + j 0.19 {y_M} = 1/{z_{\rm{M}}} = 0.92 + j0.19
歸一化交點阻抗 z T C = 1 − j 1.22 {z_{{\rm{TC}}}} = 1 - {\rm{j}}1.22
和歸一化輸入阻抗的共軛 z M {z_{\rm{M}}} 等電阻
歸一化交點導納 y T C = 0.4 + j 0.49 {y_{{\rm{TC}}}} = 0.4 + {\rm{j}}0.49
和歸一化輸出阻抗 z T {z_{\rm{T}}} 等電導

由圖可知，歸一化輸出阻抗 z T = 2 + j {z_T} = 2 + j →
歸一化交點阻抗 z T C = 1 − j 1.22 {z_{{\rm{TC}}}} = 1 - {\rm{j}}1.22 →
歸一化輸入阻抗的共軛 z M = 1 − j 0.2 {z_M} = 1 - j0.2
先沿着等電導圓向順時針移動，所以先並聯電容
再沿着等電阻圓向順時針移動，所以再串聯電感
歸一化電容→歸一化交點導納 - 歸一化輸出導納 末-初
歸一化電容 j b C = y T C − y T = j 0.69 = j ω C / Y 0 {\rm{j}}{b_{\rm{C}}} = {y_{{\rm{TC}}}} - {y_{\rm{T}}} = {\rm{j}}0.69= {{j\omega C}}/{{{Y_0}}} ★
歸一化電感→歸一化輸入阻抗的共軛 - 歸一化交點阻抗 末-初
歸一化電感 j x L = z A − z T C = j 1.02 = j ω L / Z 0 {\rm{j}}{x_{\rm{L}}} = {z_{\rm{A}}} - {z_{{\rm{TC}}}} = {\rm{j}}1.02= {{j\omega L}}/{{{Z_0}}} ★
實際電容 C = Y 0 b C ω = 0.02 × 0.69 2 π × 1.5 × 10 9 = 1.5 × 1 0 − 12 = 1.5 p F C = \frac{{{Y_0}{b_{\rm{C}}}}}{\omega } = \frac{{0.02 \times 0.69}}{{2\pi \times 1.5 \times {{10}^9}}} = 1.5 \times {10^{ - 12}} = 1.5pF
實際電感 L = Z 0 x L ω = 50 × 1.02 2 π × 1.5 × 10 9 = 5.4 × 1 0 − 9 = 5.4 n H L = \frac{{{Z_0}{x_{\rm{L}}}}}{\omega } = \frac{{50 \times 1.02}}{{2\pi \times 1.5 \times {{10}^9}}} = 5.4 \times {10^{ - 9}} = 5.4nH
L型網絡
從Smith圖上可以看到，兩圓之間還有一個交點
通過這個交點也可以進行阻抗匹配
具體選用哪種網絡，可根據其它條件而定
如高低通特性，元件值的合理性等等

8.1.2 匹配禁區 教材280頁 PDF296頁

Smith圓圖的匹配禁區：網絡拓撲無法在任何負載阻抗和源阻抗之間實現預期的匹配。
由於 Z S ＝ 50 Z_S＝50 ，匹配從圓圖的中心點開始，到達 Z L ∗ Z_L^*
可以看出，如果 Z L Z_L 在陰影區中，那麼 Z L ∗ Z_L^* 和 Z L Z_L 關於 Γ \Gamma 平面的實軸對稱，從從圓圖的中心點開始，無法到達 Z L ∗ Z_L^* ，該匹配網絡不能匹配該負載★★
匹配禁區

★★★ 源阻抗
串聯電感 沿着等電阻圓（單位圓內，圓心靠右的） 向順時針移動
串聯電容 沿着等電阻圓（單位圓內，圓心靠右的） 向逆時針移動
並聯電感 沿着等電導圓（單位圓內，圓心靠左的） 向逆時針移動
並聯電容 沿着等電導圓（單位圓內，圓心靠左的） 向順時針移動

5.3 LC串並聯諧振迴路

節點品質因數
節點品質因數

8.1.3 T形匹配網絡和π形匹配網絡

L形匹配網絡元件較少，很難同時滿足匹配和Q值得要求，需要更多的器件，以提供更多的選擇方案
一般匹配網絡的器件擴展原則是串並交替
因此從L形進行一元件擴展得到T形或Π形匹配網絡。

T形匹配網絡 教材285頁 PDF301頁 例8.5

設計一個T形匹配網絡，要求該網絡將[{Z_{\rm{L}}} = (60 - {\rm{j}}30)\Omega ]的負載 阻抗變換成 的輸入阻抗，且最大節點品質因 數等於3
假設工作頻率 ，計算匹配網絡的元件值。

π形匹配網絡 教材286頁 PDF302頁 例8.6

5.4 微帶線匹配網絡

工作頻率的提高導致工作波長的減小，分立元件的寄生參數效應變得明顯，分佈參數元件就代替了分立元件得到廣泛應用

5.4.1 從分立元件到微帶線

在中間過渡頻段（例如幾吉赫茲到幾十吉赫茲），可以採用分立元件和分佈參數元件混合使用的方法。
從拓撲結構上講，這種匹配方案用微帶傳輸線代替電感以解決高頻實現的問題
從圖形概念上講，是用駐波比圓代替等電阻圓作圖

教材288頁 PDF304頁 例8.7

首先歸一化阻抗，在Smith圓圖上標出兩阻抗點
分別通過ZL和Zin畫兩個駐波比圓
選擇與兩圓都相交的等電導線作爲過渡，確定A、B兩點
ZL與A兩點的夾角計算傳輸線長度l1
A、B兩點導納增量計算電容量
B與Zin之間的夾角計算傳輸線長度l2

8.2.2

傳輸線（微帶線）加上電容的匹配方案几乎可以匹配任何網絡
但電容器件必須是標準容值的電容，可變性不好
根據短路或開路傳輸線的輸入阻抗有電感或電容的特性：
Z i n = Z 0 Z L + j Z 0 t g β d Z 0 + j Z L t g β d { Z L = 0 ; Z i n = j Z 0 t g β d Z L → ∞ ; Z i n = − j Z 0 c t g β d {Z_{in}} = {Z_0}\frac{{{Z_L} + j{Z_0}tg\beta d}}{{{Z_0} + j{Z_L}tg\beta d}}{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} {Z_L} = 0;{\rm{ }}{Z_{in}} = j{Z_0}tg\beta d\\ {Z_L} \to \infty ;{\rm{ }}{Z_{in}} = {\rm{ - }}j{Z_0}ctg\beta d \end{array} \right.
如果用它們代替電感或電容，便構成短截線匹配網絡
電感電容值由傳輸線傳輸常數和線長度所確定，從而解決調諧問題

短截線匹配的思想：
以網絡輸入端爲參考，匹配可以分兩個部分來考慮。
1、實部匹配，傳輸線完成
2、虛部匹配，串並聯短截線完成
3、計算方法：
並聯短截線，用導納計算
串聯短截線，用阻抗計算

工作原理

實部匹配

t = t g β d t = tg\beta d
Z L = R L + j X L {Z_L} = {R_L} + j{X_L}
Y L = G L + j B L {Y_L} = {G_L} + j{B_L}
Z i n = Z 0 Z L + j Z 0 t g β d Z 0 + j Z L t g β d {Z_{in}} = {Z_0}\frac{{{Z_L} + j{Z_0}tg\beta d}}{{{Z_0} + j{Z_L}tg\beta d}}
Y i n = Y 0 Y L + j Y 0 t g β d Y 0 + j Y L t g β d {Y_{in}} = {Y_0}\frac{{{Y_L} + j{Y_0}tg\beta d}}{{{Y_0} + j{Y_L}tg\beta d}}

以並聯短截線爲例
Z i n = Z 0 Z L + j Z 0 t g β d Z 0 + j Z L t g β d = Z 0 R L + j ( Z 0 t + X L ) ( Z 0 − X L t ) + j R L t {Z_{in}} = {Z_0}\frac{{{Z_L} + j{Z_0}tg\beta d}}{{{Z_0} + j{Z_L}tg\beta d}} = {Z_0}\frac{{{R_L} + j\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}}{{\left( {{Z_0} - {X_L}t} \right) + j{R_L}t}}
Y i n = 1 Z 0 × ( Z 0 − X L t ) + j R L t R L + j ( Z 0 t + X L ) {Y_{in}} = \frac{1}{{{Z_0}}} \times \frac{{\left( {{Z_0} - {X_L}t} \right) + j{R_L}t}}{{{R_L} + j\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}}
G i n = R e ( Y i n ) = R L ( 1 + t 2 ) R L 2 + ( Z 0 t + X L ) 2 {G_{in}}{\rm{ = }}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}}}
B i n = I m ( Y i n ) = R L 2 t + ( Z 0 t + X L ) ( X L t − Z 0 ) Z 0 [ R L 2 + ( Z 0 t + X L ) 2 ] {B_{in}}{\rm{ = }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \frac{{R_L^2t + \left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)\left( {{X_L}t - {Z_0}} \right)}}{{{Z_0}\left[ {R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}} \right]}}

實部匹配方法一

取適當的 t 值，使其達到
R e ( Y S ) = R e ( Y i n ) = R L ( 1 + t 2 ) R L 2 + ( Z 0 t + X L ) 2 {\mathop{\rm Re}\nolimits} ({Y_S}) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}}}
Y S = R L ( 1 + t 2 ) R L 2 + ( Z 0 t + X L ) 2 {Y_S} = \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}}}
得到t
d λ = 1 2 π t g − 1 t , t > 0 \frac{d}{\lambda } = \frac{1}{{2\pi }}t{g^{ - 1}}t,{\rm{ t > 0}}
d λ = 1 2 π ( π + t g − 1 t ) , t < 0 \frac{d}{\lambda } = \frac{1}{{2\pi }}\left( {\pi + t{g^{ - 1}}t} \right),{\rm{ t < 0}}

實部匹配方法二

令 t → ∞ t \to \infty 於是 d = λ / λ 4 4 d = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 4}} \right.} 4}
令傳輸線阻抗爲 Z 0 L Z_{0L}
R e ( Y i n ) = lim ⁡ t → ∞ R L ( 1 + t 2 ) R L 2 + ( Z 0 L t + X L ) 2 = R L Z 0 L 2 {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_{0L}}t + {X_L}} \right)}^2}}} = \frac{{{R_L}}}{{Z_{0L}^2}}
I m ( Y i n ) = lim ⁡ t → ∞ R L 2 t + ( Z 0 L t + X L ) ( X L t − Z 0 L ) Z 0 L [ R L 2 + ( Z 0 L t + X L ) 2 ] = X L Z 0 L 2 {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{R_L^2t + \left( {{Z_{0L}}t + {X_L}} \right)\left( {{X_L}t - {Z_{0L}}} \right)}}{{{Z_{0L}}\left[ {R_L^2 + {{\left( {{Z_{0L}}t + {X_L}} \right)}^2}} \right]}} = \frac{{{X_L}}}{{Z_{0L}^2}}
改變參數Z0，使 Y S = R L Z 0 L 2 {Y_S} = \frac{{{R_L}}}{{Z_{0L}^2}}

虛部匹配

確定實部匹配後，虛部爲一固定值，並聯或串聯短截線後使
− B S = I m ( Y i n ) + B - {B_S} = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) + B
B爲並聯短截線電納
B = − [ I m ( Y i n ) + B S ] B = - \left[ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) + {B_S}} \right]

短截線長度

開路線
l λ = { 1 2 π t g − 1 B Y 0 , B > 0 1 2 π [ π − t g − 1 B Y 0 ] , B < 0 \frac{l}{\lambda } = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\pi }}t{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}},B > 0\\ \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\pi - t{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}}} \right],B < 0 \end{array} \right.
短路線
l λ = { 1 2 π c t g − 1 B Y 0 , B < 0 1 2 π [ π − c t g − 1 B Y 0 ] , B > 0 \frac{l}{\lambda } = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\pi }}ct{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}},B < 0\\ \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\pi - ct{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}}} \right],B > 0 \end{array} \right.
注意：
如果用解析法求解，傳輸線與短截線的特徵阻抗可以任意選擇
可以相同，也可以不同。
但是，如果用Smith圓圖求解，所有歸一化變量所用的特徵阻抗必須相同。

單節短截線圖解法

假設源端的阻抗爲Z0，則只需將負載匹配到Z0即可
並聯短截線採用導納圖求解
串聯短截線採用阻抗圖求解

例：給定負載阻抗爲ZL=100+j132，匹配到特徵阻抗=50歐姆
1）首先歸一化阻抗 ，在Smith圓圖上標出該點
Z L / Z 0 = 2 + j 2.64 {{{Z_L}}}/{{{Z_0}}} = 2 + j2.64
Γ Z L = 0.707 ∠ 25. 9 ∘ {\Gamma _{{Z_L}}} = 0.707\angle {25.9^ \circ }
2）過該點在Smith圓圖畫出對應的SWR圓
3）找到SWR圓與1電導圓（1電阻圓）的交點（兩個）
Γ y 1 = 0.707 ∠ − 13 5 ∘ {\Gamma _{y1}} = 0.707\angle - {135^ \circ }
Γ y 2 = 0.707 ∠ + 13 5 ∘ {\Gamma _{y2}} = 0.707\angle + {135^ \circ }
4）求出電納（電抗）值
5）由負載向源方向求出傳輸線長
d 1 = 0.223 λ {d_1} = 0.223\lambda 、 d 2 = 0.348 λ {d_2} = 0.348\lambda
6）確定短截線形式（開、短路）
7）從負載到源方向讀出短截線長
採用短路短截線
l 1 = 0.074 λ {l_1} = 0.074\lambda 、 l 2 = 0.426 λ {l_2} = 0.426\lambda
採用開路短截線
l 1 = 0.324 λ {l_1} = 0.324\lambda 、 l 2 = 0.176 λ {l_2} = 0.176\lambda
短截線

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