羣、環、域基本定義

羣、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是羣，『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數爲係數的多項式（可以驗證也是環），當然R也是；環不過是在羣的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：整數，有理數，實數，複數。 其實環和域上所謂的乘法不一定就是通常說的乘法，例子相信你的書上應該有，我們只是叫它乘法而已。 只能說到這兒了，你應該是想知道一些具體的例子，定義應該是蠻清楚的。
羣，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。羣上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種羣，定義的羣運算（記爲＋）還要滿足交換律。另外環上還有一個運算（記爲×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。 例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。 例整數集上加法和乘法，單位元0,1。
循環羣+羣生成元：如果存在一個元素a屬於G，對任一屬於G的元素b，都存在一個整數i>=0，使得b=a^i，則羣G就稱爲循環羣,元素a稱爲G的一個生成元，G也稱爲由a生成的羣。當一個羣由a生成的時候，記做G=。
有限羣G中元素個數稱爲G的階，記爲#G。
阿貝爾羣是交換羣，即有羣中元素ab=ba，*是羣操作。