幾何變換詳解
在三維圖形學中，幾何變換大致分爲三種，平移變換（Translation），縮放變換（Scaling），旋轉變換（Rotation）。以下討論皆針對DirectX，所以使用左手座標系。
平移變換
將三維空間中的一個點[x, y, z, 1]移動到另外一個點[x', y', z', 1]，三個座標軸的移動分量分別爲dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即
x' = x + Tx
y' = y + Ty
z' = z + Tz
平移變換的矩陣如下。
縮放變換
將模型放大或者縮小，本質也是對模型上每個頂點進行放大和縮小（頂點座標值變大或變小），假設變換前的點是[x, y, z, 1]，變換後的點是[x', y', z', 1]，那麼
x' = x * Sx
y' = y * Sy
z' = z * Sz
縮放變換的矩陣如下。
旋轉變換
這是三種變換中最複雜的變換，這裏只討論最簡單的情況，繞座標軸旋轉，關於繞任意軸旋轉，在後續的隨筆中介紹。
繞X軸旋轉
繞X軸旋轉時，頂點的x座標不發生變化，y座標和z座標繞X軸旋轉θ度，旋轉的正方向爲順時針方向（沿着旋轉軸負方向向原點看）。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。
關於旋轉的正方向，OpenGL與多數圖形學書籍規定旋轉正方向爲逆時針方向（沿着座標軸負方向向原點看），比如Computer Graphics C Version，p409。
繞Y軸旋轉
繞Y軸旋轉時，頂點的y座標不發生變化，x座標和z座標繞Y軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。
繞Z軸旋轉
繞Z軸旋轉時，頂點的z座標不發生變化，x座標和y座標繞Z軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。
繞座標軸旋轉的矩陣推導
上面三個旋轉矩陣是如何得來的呢？我們推導一下，首先看一下二維的情況，再擴展到三維即可。實際上上面三種繞座標軸旋轉的情況屬於特殊的二維旋轉，比如繞Z軸旋轉，相當於在與XOY平面上繞原點做二維旋轉。
假設點P(x, y)是平面直角座標系內一點，其到原點的距離爲r，其與X軸的夾角爲A，現將點P繞原點旋轉θ度，得到點P'(x', y')，P'與X軸的夾角爲B，則A = B - θ。（注意，在二維座標中，逆時針旋轉時角度爲正，順時針旋轉時角度爲負，下圖中由P旋轉到P'，角度爲θ，若是由P'轉到P，則角度爲-θ）。
於是可得下面的轉換方程
（式一）
寫成矩陣的形式就是
求得旋轉矩陣爲
由於這裏使用齊次座標，所以還需加上一維，最終變成如下形式
繞Z軸旋轉矩陣
和前面給出的繞Z軸旋轉矩陣完全吻合。
對於繞X軸旋轉的情況，我們只需將式一中的x用y替換，y用z替換，z用x替換即可。替換後得到
(式二)
對應的旋轉矩陣爲
繞X軸旋轉矩陣
對於繞Y軸旋轉的情況，只需對式二做一次同樣的替換即可，的到的變換方程爲
對應的變換矩陣爲
繞Y軸旋轉矩陣
逆矩陣
平移變換矩陣的逆矩陣與原來的平移量相同，但是方向相反。
旋轉變換矩陣的逆矩陣與原來的旋轉軸相同但是角度相反。
縮放變換的逆矩陣正好和原來的效果相反，如果原來是放大，則逆矩陣是縮小，如果原來是縮小，則逆矩陣是放大。
== Happy Coding ==
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