數學家論數學: 數學的本質
羅巴切夫斯基
任何一門數學分支，不管它如何抽象，總有一天會在現實世界中找到應用.
羅巴切夫斯基(Н.И.лобачевский，1792～1856，俄國數學家)是非歐幾何的創始人之一，但他的工作在其所處的時代並未獲得讚賞，反而遭到嘲弄和打擊.去世後不久，人們發現大數學家高斯的手稿中記載了關於非歐幾何的同類成果，他的思想才逐漸被接受.羅巴切夫斯基是一位傑出的教育家和管理者，創立了喀山數學學派和喀山數學教育學派，在無窮級數論（特別是三角級數）、積分學和概率論等方面均有出色的工作.羅巴切夫斯基反對康德的唯心主義觀點，認爲人們頭腦裏產生的概念來源於客觀世界的物質運動.數學概念從現實世界抽象和概括出來，反映了諸多客觀事物數量關係和空間形式方面的本質和共性.因此不管數學理論如何抽象，一定會在實際問題中得到應用.事實也是如此，他創造的非歐幾何已在描述宇宙空間結構中得到某些應用.
切比雪夫
使數學脫離實際需要，就好比把母牛關起來不讓她接觸公牛.
這是切比雪夫批評那些輕視數學應用的數學家時說出的一句非常經典的話.
切比雪夫(П.Л.Чебьшев，1821～1894，俄國數學家、力學家)是彼得堡數學學派的創始人，其特點是將數學理論與自然科學技術的實踐緊密結合，這使得他的許多科學創造都具有極其重要的實用價值.例如，他從研究機誡原理出發，建立了用多項式逼近連續函數的理論，創立了新的數學分支.關於科學與實踐的關係，切比雪夫曾指出：「科學在實踐中獲得了正確的領導地位」，「科學本身在實踐的影響下發展，又爲實踐開發了新的研究對象」 .
惠斯勒
儘管評論家大聲叫喊：2加2應等於5；業餘藝術家傾情哭訴：2加2應等於3；對數學家而言，2加2永遠等於4.
數學最顯著的特點是理論的嚴謹性，一般從兩個方面考慮：
一是數學推理的嚴格性，
二是數學結論的確定性.
惠斯勒上面的這句名言恰好幽默地說明了後者.
惠斯勒(J．M．Whistler，1834～1903，美國畫家)早年考入西點軍校，I855年去巴黎，1859年定居英國，擔任過不列顛美術家協會主席.代表作《在鋼琴旁》、《白衣女郎》曾引起轟動.晚年作品追求東方趣味，畫中少女常穿日本和服並擺上幾件中國瓷器.作品還有銅版畫《法國組畫》、肖像畫《母親》及組畫《泰晤士河》等.
漢克爾
在大多數學科裏，一代人的建築往往被另一代人所摧毀，一個人的創造被另一個人所破壞；唯獨數學，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓.
在講解數學科學的特點時，一般人津津樂道的有三點：高度的抽象性、體系的嚴謹性、應用的廣泛性，往往忽略了它的第四個特點：發展的連續性.對此，漢克爾提出了上述精彩論述，這也是數學與其他自然科學的顯著差異.
漢克爾(H. Hankel，1839～1873，德國數學家、數學史家)在複數和超複數理論、函數論、數學史等方面皆有所貢獻.他修正了形式律的皮科克不變性，證明了任何超複數系都不能滿足全部普通算術定律，強調點集的測度性質，系統闡述了黎曼可積性準則，討論了函數的分類及各類函數的可積性，並提出構造以有理點爲奇點函數的方法.漢克爾是著名的數學史家，其著作《近幾世紀數學的發展》、《古代與中世紀數學史》等享有盛名，受到數學史家康托爾、卡約裏、希思等的重視.
康托爾
數學的本質在於它的自由.
康托爾（G.F.L.P.Cantor，1845～1918，德國數學家）注意到在數學發展進程中往往有些理論不能被普遍接受，如概率論.於是，他提出「數學的本質在於它的自由」，即不必受傳統觀念束縛，並於19世紀70年代提出無窮集合論.這種富有革命性的學術思想遭到同時代一些學者的反對和嘲笑，但也得到幾位大數學家的支持，如戴德金、魏爾斯特拉斯、希爾伯特等.自20世紀20年代以來，集合論已享有很高的聲譽，正如希爾伯特在1926年的一次講話中強調指出的：「沒有人能把我們從康托爾爲我們創建的樂園中趕走！」羅素則把康托爾的工作稱頌爲「可能是這一時代所能誇耀的最巨大的工作」 .
格萊舍
對於任何一種將一個學科與它的歷史割裂開來的企圖，我確信，沒有哪一個學科比數學的損失更大.
與其他自然科學相比，數學的獨特之處在於它是積累的科學，它本身就是歷史的記錄，或者說數學的過去融合於現在與未來之中.正是爲了強調數學史的重要性，格萊舍說出以上名言.
格萊舍(J.W.L．Glaisher，1848～1928，英國數學家、天文學家)1867年入劍橋大學三一學院讀書，畢業後留校任教.一生未婚，致力於科學研究，共發表近400篇文章和筆記.1871年擔任《數學信使》編輯，1878年兼任《數學季刊》編輯.主要貢獻在特殊函數（特別是橢圓模函數）理論和數學史等方面，另外對天文學也有研究.1884年任倫敦數學學會理事長，1901年任皇家天文學會理事長.他還是英國皇家學會及其他若干科學團體成員.
福塞思
數學是最古老的科學之一，然而它又是最活躍的科學之一，因爲它的力量來自永葆青春的活力.
18世紀的數學家曾對未來的數學感到茫然，1781年拉格朗日給達朗貝爾的信頗有代表性：「在我看來，似乎（數學的）礦井已經挖掘得很深了，除非發現新的礦脈，否則遲早勢必放棄它.」然而數學在新世紀裏的確發現了新的礦脈，產生了一大批新的分支.不僅如此，數學組織與刊物迅猛發展，數學家人數急劇增長，數學思想日新月異，數學應用日益廣泛.數學「不斷地用它紮在思維和自然中的深根獲取營養」，正如福塞思形容的那樣「它的力量來自永葆青春的活力」 .
福賽思（A.R.Forsyth，1858～1942，英國數學家）1877年就學於劍橋大學三一學院.1881年畢業時以數學優異成績留校執教.1886年當選爲皇家學會會員.他的名作《函數論》被認爲是自牛頓《原理》以來對英國數學影響較大的專著之一，對數學現代化起了引導作用.另外著有《變分學》、《理想空間的內蘊幾何學》等書.
懷特黑德
這是一個可靠的規律，當數學或哲學著作的作者以模糊深奧的話寫作時，他是在胡說八道.
數學的特點在於簡潔，即將最複雜的東西用最簡單明瞭的內容來表示，而不是使用模糊深奧的語言，這就是懷特黑德的觀點.
懷特黑德(A.N.Whitehead．1861～1947，英國邏輯學家、數學家、哲學家)1884年畢業於劍橋大學三一學院，1905年獲科學博士學位.先後任教於劍橋大學三一學院、倫敦大學學院和哈佛大學.曾獲多種獎金，被選爲皇家學會會員.懷特黑德主要貢獻在數理邏輯和哲學方面，他和羅素被認爲是數學基礎三大學派之一的邏輯主義學派的創始人.他們合作的《數學原理》一書對邏輯主義學派的基本觀點進行了論述，現已成爲重要的歷史文獻.
凱 澤
數學不是算賬和計數的技術，正如建築學不是造磚伐木的技術，繪畫不是調色的技術，地質學不是敲碎岩石的技術，解剖學不是屠宰的技術一樣.
這是凱澤理解了數學的本質後，深入淺出說出的一句名言.
凱澤(C.J.Keyser，1862～1947，美國數學家)1883年畢業於俄亥俄州師範大學.1901年獲博士學位後在華盛頓大學、哥倫比亞大學等校任教，是美國科學發展協會和美國數學學會成員.著作有《新無窮與舊神學》、《數學哲學》等，對幾何、邏輯和數學哲學都有貢獻.
波利亞
數學在用最不顯然的方式證明最顯然的事情.
波利亞（G.Polya，1887～1985，匈牙利一美國數學家、數學教育家）早年在布達佩斯、維也納、格丁根、巴黎等地攻讀數學、物理和哲學.1928年任瑞士聯邦工學院數學教授.1940年移居美國，在斯坦福等大學執教.先後成爲法國科學院、美國藝術與科學研究院、匈牙利科學院、美國科學院等成員.他在概率論、組合數學、圖論等多個領域有建樹，而影響最大的是他豐富的數學教育思想.他十分重視從小培養學生的解題能力，始終把高深的數學研究與數學的普及教育結合起來.相關名著《怎樣解題》(1944)、《數學與合情推理》(1954)和《數學的發現》(1962～1965)風靡世界，多次修訂，並被譯爲多種文字.其中僅中文就有數個版本，促進了我國數學教育改革和解題研究水平的提高.
韋 伊
嚴格性之於數學家，就如道德之於人.
韋伊（A.Weil, 1906-1998，法國數學家、數學史家）是20世紀最有影響的純粹數學家之一，是公認的布爾巴基學派的精神領袖.20世紀30年代末完成專著《拓撲羣的積分及其應用》，其中反映出的數學結構主義體現了布爾巴基學派的觀點，開闢了羣上調和分析的新領域.40年代，建立了嚴整的代數幾何學體系：1946年出版的《代數幾何學基礎》建立的代數幾何方法對解決代數數論問題具有重要意義.1948年提出了韋伊猜想.這些工作推動了現代數學的發展.1979年韋伊榮獲沃爾夫獎，1994年榮獲基礎科學方面的京都獎.在韋伊看來嚴格是數學家最根本的素養，在上述名言中他以類比的方法形象地揭示了「嚴格」的重要性.
加德納
數學的真諦就在於不斷尋求用越來越簡單的方法證明定理和解決數學問題.
加德納(M.Gardner，1914～2010，美國數學科普作家)被譽爲「數學園丁」，在雜誌《科學美國人》每月一篇的專欄發表數學科普文章持續20年以上.他堅信自己所說的這一論斷，所以創造的數學趣題往往出人意料，但又非常簡單而合乎邏輯.他的作品也以深入淺出著稱，使許多讀者陶醉於數學樂園之中，並在改善數學的可接受性方面做出了重要貢獻.其中最著名的有《關於無窮相對論》、《數學的奇蹟和祕密》、《數學遊戲和娛樂>、《數學的餘暇》、《數學故事>等.譯成中文的有《啊哈！靈機一動》、《引人人勝的數學趣題》、《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》、《矩陣博士的魔法數》等.
編輯 ∑Gemini
來源：數學職業家
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