淺談邏輯迴歸

　　邏輯迴歸是我們經常使用的一種模型，網上介紹的文章很多，所以邏輯迴歸的詳細內容這裏就不介紹了。我的問題是：我們爲什麼要使用邏輯迴歸？跟其它分類、迴歸模型相比，邏輯迴歸有什麼特點？

邏輯迴歸的特點

　　邏輯迴歸使用邏輯斯諦函數定義輸出值，做爲樣本分類的概率，然後對樣本進行極大似然估計，來求得最優參數θ。
邏輯斯諦函數(又稱sigmoid函數)的表達式爲：
σ(x)=11+e−x (1)
其函數圖像如下：

　　　　　　　　圖1.
我們要最大化的目標即極大似然概率爲：
L(θ)=∏P(y|x;θ) (2)
即爲每個樣本概率的乘積。
　　由圖1我們可以看出，邏輯斯諦函數在x=0附近變化較快，而在離開x=0時變化速度迅速減小，直至接近於0。
　　如果Q: θx = 0爲邏輯迴歸的迴歸平面，平面上的點對應於圖1中x=0處，可以看到，在離迴歸平面較近時(即x=0附近)，函數值的變化較快。因爲極大似然估計爲每個樣本概率的乘積，所以導致L(θ)的變化較快，即離迴歸平面近的點對迴歸平面的影響較大。而那些遠離迴歸平面的點，它們的概率接近1，變化速度接近於0，迴歸平面發生變化時它們的概率變化極小，所以它們對迴歸平面的變化影響很小。
　　結果就是離迴歸平面近的樣本對迴歸平面產生較大影響，離迴歸平面遠的樣本對迴歸平面產生較小的影響，並且隨着距離的增大，對迴歸平面的影響迅速減小，甚至可以忽略。
　　這就是邏輯迴歸的特點，也是邏輯斯諦函數的特點。
　　事實上人們發現現實生活中很多問題都表現出邏輯斯諦函數S形曲線的特點，所以邏輯斯諦函數被廣泛採用在很多問題的建模上，如人口增長、信息傳播等。這可能也是邏輯迴歸被我們大量使用的原因。

LMSE迴歸

相比之下，我們再來看一下LMSE(最小均方誤差)迴歸。
LMSE迴歸使用均方誤差來做爲迴歸的損失函數，表達式爲：
E=∑(θx−t)2 　　(3)
我們的目標是使E最小。
x2 是一個二次函數，它的函數曲線如下：

　　　　　　圖2.
由圖可以看出，函數在遠離x=0時函數變化逐漸加快。
　　在圖像上就是那些離平面θx - t = 0較遠的點對迴歸平面的影響較大，而離平面θx - t = 0較近的點對迴歸平面的影響較小。
　　由於目標值t有兩個取值1和-1，所以上述平面θx - t = 0相當於有兩個：θx - 1 = 0和θx + 1 = 0，最終的迴歸平面θx = 0在這兩個平面的中間。所以結果是，離迴歸平面較近和較遠的樣本都對迴歸平面產生較大影響，而只有那些離迴歸平面距離「適中」，即接近於θx=t的點對迴歸平面的影響較小。

支持向量機

　　支持向量機是使離分離平面最近的點到分離平面的距離最大。
　　那些離分離平面最近的點稱爲支持向量，支持向量機的分離平面完全由支持向量決定，跟其它的樣本無關。

邏輯迴歸, LMSE迴歸與支持向量機相比較

　　下面是用上述三種模型做分類時的一個簡單示例，圖中樣本的分佈不對稱，綠色樣本有兩個點離其它樣本的位置較遠：

　　　　　　　　　　　　圖3.　　　　　
上圖中三種模型的分離平面與我們上面的論述相一致：
邏輯迴歸的迴歸平面受離迴歸平面近的點的影響較大，受離迴歸平面遠的點的影響較小。
LMSE迴歸的迴歸平面受左上角兩個綠色樣本的影響而向上傾斜。
支持向量機的分離平面只由兩個支持向量決定。

　　另外我們看到，在本例中邏輯迴歸和支持向量機得到的分離平面很接近，但是支持向量機的推導和訓練過程要比邏輯迴歸複雜很多。所以加州理工學院的Yaser教授說，支持向量機像一輛豪華轎車，它很好，但是我們要爲之付出更多的代價，邏輯迴歸像一輛家用轎車，它比較廉價，但是可以拉我們去我們想去的地方。