矩陣的相似標準型之特徵值的分佈

原視頻對應分集《矩陣的相似標準型(5)》中含有部分內容是與Jordan標準型相關的
這一部分我放在前一篇博文裏面了，如果是對照視頻來看博客的朋友可以移步《【矩陣論】矩陣的相似標準型（4）（5）》~

本節內容的提出，是基於在很多實際問題中我們並不需要求解出矩陣特徵值的精確值；
只需要知道特徵值的範圍，特徵值的模長等比較寬泛的信息即可。

一. 基本概念

設A = (a_ij)_nxn，A是一個n階矩陣，那麼A應該有n個特徵值（可能是重根）

1. 譜

（1）譜

A的特徵值的集合爲A的譜

（2）譜半徑

A的特徵值（可能含有複數根）的模的最大值爲A的譜半徑，記作ρ(A)

針對以上兩個概念，我們有兩個任務：
其一，估計A的譜所分佈的大概的集合範圍
其二，估計譜半徑大致的數值範圍

2. 蓋爾園(系)

（1）R_i
R_i就是n階矩陣的第i行中除了主對角線元素以外其他所有元素的模之和。

（2）C_i：複平面上的一個圓
C_i是以第i行的主對角元爲圓心，以R_i爲半徑所對應的一個圓面區域。

由此可知，n階矩陣就應該有n個蓋爾園。

（3）蓋爾園系
所有蓋爾園的並集，是複平面上的一段區域。

定義蓋爾園系，是爲了藉助它估計矩陣A的譜及譜半徑。

二. 重要定理與概念

1. 特徵值∈蓋爾園系

（1）定理描述

定理1：矩陣A的特徵值必定在A的蓋爾園系中。

（2）定理證明

[1]：題目需要圍繞特徵量進行證明，先把矩陣的特徵值λ₀、特徵向量η設出來，且滿足Aη = λ₀η的關係。
[2]：既然η是特徵向量（那麼一定非零），所以找到其中最大的一個分量x_k，x_k≠0
[3]：把Aη = λ₀η的矩陣乘法按照行進行展開，接下來會圍繞第k行的運算進行證明化簡。

[4]：第k行的矩陣運算是形如a_k1x₁+…+a_kkx_k+…+a_knx_n = λ₀x_k
[5]：把上式第k項a_kkx_k提出來移到等式右邊，等式兩邊同時取模長運算
[6]：針對複數運算的三角不等式進行放縮
[7]：因爲|x_k|是所有|x_i|(i=1,2,…,n)中分量模長最大的一個，所以可以繼續進行放縮；然後得到了第k個蓋爾園的定義式

綜上，證明出了A的特徵值一定在A的第k個蓋爾園（k是該特徵值對應的特徵向量的最大分量下標）中，也就是在A的蓋爾園系中。

（3）例題演練

如果對於上面定理的證明過程有詳細瞭解的話，不難發現對於一個n階矩陣——
有n個蓋爾園，也有n個特徵值
且每個特徵值都會屬於某一個蓋爾園

但並不意味着特徵值和所屬的蓋爾園是一一對應的，即並不是每一個蓋爾園中都會有所屬的特徵值。
接下來這個例題也可以說明這個問題。

【例】給定一個矩陣，考察其每個特徵值所屬的蓋爾園

[1]：按照蓋爾園的定義，寫出了這個二階矩陣的兩個蓋爾園
p.s. C1的絕對值裏面是Z+4（截圖的時候忘記補上斷裂的加號了）

[2]：求解該二階矩陣的特徵方程，得到兩個特徵值
[3]：可以對照着兩個蓋爾園和兩個特徵值，1-根號15肯定小於0，所以在C1這個蓋爾園中
1+根號15小於5，因此也在C1這個蓋爾園中

出現上述情況的原因，可能是C1和C2兩個蓋爾園是有交集的。

2. K區

（1）定義

在上圖中，6個蓋爾園構成的蓋爾園系是由一個4區和一個2區構成的。

【例】判斷給定矩陣的K區

矩陣A的三個蓋爾園都是以2爲圓心，1爲半徑的圓-----3區
矩陣B的C1和C3是同心圓，構成2區；另外一個圓單獨構成1區。

（2）定理

相比前面給出的「特徵值屬於矩陣的蓋爾園系中」，這個定理給出了更加一般的性質

A的蓋爾園的k-區有且僅有A的k個特徵值

注意：對於這個定理有一些小細節
①完全相同的蓋爾園也是算作k區之中的
②k個特徵值中，若有重根要按照重數重複計算特徵值的個數

（3）推論

如果A的n個蓋爾園互不相交，則A有n個互不相等的特徵值。

也就是說每個蓋爾園都構成1區，而每個1區中都僅有A的1個特徵值。

p.s. 矩陣的特徵值互不相同是一個很好的性質：矩陣特徵值互不相同→矩陣相似於一個對角陣→對角陣的特徵量、秩以及計算都會有很多較好的性質。

【例題】利用上述定理可以快速判斷矩陣的相關性質

先計算矩陣A的三個蓋爾園，有1個2區和1個1區，並不能確定出矩陣的什麼性質。
但是根據「矩陣一定相似於其轉置矩陣」，可以對A^T求解蓋爾園，從而判斷出特徵量的信息。

【矩陣一定相似於其轉置矩陣】
這裏不進行證明，只是提供一個思路：

因爲矩陣相似的定義是存在一個可逆矩陣P，有P^-1AP = B,就說明矩陣A與B相似。
而對一個矩陣A左乘和右乘一個可逆矩陣，相當於對矩陣A進行初等行變換和初等列變換。

把一個矩陣變成其轉置矩陣，只需要進行初等行(列)變換，也就夠了。

通過對A^T進行計算（對A是關於行計算，對A^T關於列計算即可），得到的三個蓋爾園是互不相交的，從而可以得出矩陣A是相似於對角陣的。

3. 譜半徑的估計

從前面提出蓋爾園(系)及其定理，再到K區的提出以及相關定理，爲譜估計（特徵值的分佈）提供了思路。

接下來我們要着手解決譜半徑的估計問題。

（1）定理描述

說明：
ρ₁：按照行把矩陣A的元素的模求和，在這n行對應的n個和中，最大的設爲ρ₁
ρ₂：按照列把矩陣A的元素的模求和，在這n列對應的n個和中，最大的設爲ρ₂

（2）定理證明

①證明ρ(A)≤ρ₁

[1]：要證明ρ(A)≤ρ1，則要證明特徵值中的最大值≤ρ₁，那麼對於任意一個特徵值λ₀，都有|λ₀|≤ρ₁即可。

[2]：假設λ₀是在第k個蓋爾園中，則按照蓋爾園的定義，就有第二個框中的不等式成立，按照模運算的三角不等式，|λ₀-a_kk|≥|λ₀|-|a_kk|

[3]：不等式移項，從而得出λ₀的模長小於第k行所有元素的模長之和；按照ρ₁的定義，|λ₀|也必然≤ρ₁。

②證明ρ(A)≤ρ₂

讀者可以聯想一下「行」、「列」、「特徵值」這些詞，然後思考一下，如果要證明第二部分，應該從什麼思路來入手呢？

Bingo! 就是矩陣的轉置。

既然矩陣A與矩陣A^T具有完全相同的特徵值，對A^T用列進行證明↔對A用行來證明。
以下不再贅述。

（3）例題演練
【例】估計矩陣的譜半徑

按照前面的譜半徑估計定理，我們可以計算出ρ₁= ρ₂ = 6，從而只能得到ρ(A)≤6.
但是題目要求我們能夠嚴格地證明出譜半徑是小於6的。

可能大部分人會想到下面這個思路（沒錯，當時我也中招了）

要證明ρ(A)<6，且已知ρ(A)≤6，則只需要證明ρ(A)≠6即可。
p.s. 其實思路到上面這一步還是正確的…

接下來，可能就會定式思維地（因爲給出的矩陣是實矩陣，我們通常接觸到的特徵值也是實數）認爲——
只要證明6不是矩陣A的特徵值即可。

錯誤！！因爲ρ(A)≠6，意味着A的特徵值中最大的那一個的模長不爲6，而在複平面上模值爲6的點有無窮個，此法根本行不通。

但是我們可以結合蓋爾園的圖形來理解（數形結合！數形結合！）

在複平面中把各個蓋爾園的圖形繪製出來（老師繪製的可能有部分細節不對，大致理解就可以了），發現離複平面的原點距離爲6（模長爲6）且在蓋爾園系範圍內的點，只有（6,0）這一個點。

接下來，我們就可以正大光明地證明「因爲6不是矩陣A的特徵值，所以ρ(A)≠6」了~

p.s. 一定要注意，是因爲結合圖像把模長爲6的點鎖定在了實數6上面，這樣的證明纔是可行的！！