1 多元函數的基本概念

1.1 極限

1.1.1 定義

設二元函數$f(P) = f(x, y)$的定義域爲$D,P_0(x_0, y_0)$是$D$的聚點，web

若是存在常數$A$，對於$\forall \epsilon > 0，\exists \delta > 0$使得當點$P(x, y) \in D \cap U(P_0, \delta)$時，算法

都有$|f(P) - A| = | f(x, y) - A| < \epsilon$ 成立,則稱常數$A$爲函數$f(x, y)$ 當$(x, y) \to (x_0, y_0)$時的極限，svg

記作函數

$${ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A}$$

或atom

$${ \lim_{P \to P_0} f(P) = A}$$

2 偏導數

2.1 偏導數的定義

設函數$z = f(x, y)$在點$(x_0, y_0)$的某一鄰域內有定義，當$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$處有增量$\Delta x$時，相應的函數有增量spa

$$f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$$

若是code

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，則稱此極限爲函數$z = f(x, y)$在點$(x_0, y_0)$處對$x$的偏導數記作orm

$$\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x = x_0, y = y_0)},\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x = x_0, y = y_0)} ,z_x|_{(x = x_0, y = y_0)},f_x(x_0, y_0)$$

2.2 偏導數的計算

通常來講，求初等函數在定義域內的偏導數，直接用一元函數的求導公式和法則便可。這是由於xml

$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_0, y_0)} = \frac{d}{dx}f(x, y_0)|_{x = x_0}$$

2.3 高階偏導數

2.3.1 定義

二階及二階以上的偏導數統稱爲高階偏導數，高階偏導數求導次序不可以隨意交換。例如ip

$\frac{\partial}{\partial{y}}(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}) = \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}} = f_{xy}(x, y)$而$\frac{\partial}{\partial{x}}(\frac{\partial{z}}{\partial{y}}) = \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}} = f_{yx}(x, y)$

2.3.2 定理

若是函數$z = f(x, y)$的兩個二階混合偏導數$\frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}}, \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}}$在區域$D$內連續，那麼在該區域內；這兩個二階混合偏導數必相等。換句話說，二階混合偏導數在連續的條件下與求導的次序無關。

一樣，二階以上的高階混合偏導數在相應的高階偏導數連續的條件下也與求導的次序無關。

2.4 隱函數的求導公式

2.4.1 公式法

將方程中的全部非零項移到等式一邊，並將其設爲函數$F$，注意應將$x, y, z$看作獨立變量，對$F(x, y, z) = 0$分別求導，利用公式$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

2.4.2 直接法

3 全微分

3.1 計算法

設$z = f(x, y)$，則$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

設$u = f(x, y, z)$，則$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz$

4 多元複合函數的求導法則

4.1 鏈式法則

若$z = f(u, v), u = f(x, y), v = f(x, y)$那麼

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$$

5 方向導數和梯度

5.1 方向導數

5.1.1 定理

若是函數$f(x, y, z)$在點$P_0(x_0, y_0)$可微分，那麼函數在該點沿任一方向$l$的方向導數存在，且有

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$$

$(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)$是方向$l$的方向餘弦，

5.1.2 方向導數的幾何意義

函數$z = f(x, y)$的方向導數$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)}$的幾何意義爲函數$z = f(x, y)$在點$P_0(x_0, y_0)$沿方向$l$的變化率。

5.2 梯度

5.2.1 梯度的方向和模

梯度方向是函數$f(x, y)$在點$p_0(x_0, y_0)$點變化率最大的方向。

梯度的模是函數的最大增加率。

5.2.2 計算法

$$gradf(x, y) = (\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y})$$

6 多元函數微分學的幾何應用

6.1 空間曲線的切線與法平面

6.1.1 計算法

6.1.1.1 參數方程情形

若

$$\left\{ \begin{aligned} x &= x(t) \\ y &= y(t) \\ z &= z(t) \end{aligned} \right.(\alpha \le t \le \beta)$$

則曲線在$M_0(x_0, y_0, z_0)$處的切向量爲$(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$

6.1.1.2 通常方程情形

若

$$\left\{ \begin{aligned} F(x, y, z) &= 0 \\ G(x, y, z) &= 0 \end{aligned} \right.$$

則曲線在$M_0(x_0, y_0, z_0)$處的切向量爲

$$(\left|\begin{array}{cccc} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{array}\right| _{M_0}, \left|\begin{array}{cccc} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{array}\right| _{M_0}, \left|\begin{array}{cccc} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{array}\right| _{M_0})$$

6.2 空間曲面的切平面和法線

6.2.1 求法

6.2.1.1 顯式方程$z = f(x, y)$

6.2.1.2 隱式方程$F(x, y, z) = 0$

則曲線在$M_0(x_0, y_0, z_0)$處的切向量爲$(F_x(x_0, y_0, z_0), F_y(x_0, y_0, z_0), F_z(x_0, y_0, z_0))$

7 多元函數的極值及其求法

7.1 無條件極值

7.1.1 極值的必要條件

具備偏導數的函數的極值點一定是駐點，但函數的駐點不必定是極值點

7.1.2 極值的充分條件

若存在駐點$(x_0, y_0)$,令$f_{xx}(x_0, y_0) = A, f_{xy}(x_0, y_0) = B, f_{yy}(x_0, y_0) = C$，若

（1）$AC - B^2 > 0$時具備極值，且當$A < 0$時有極大值，當$A > 0$時有極小值；
（2）$AC - B^2 < 0$時沒有極值
（3）$AC - B^2 = 0$時須要另做討論

7.2 條件極值

7.2.1 化爲無條件極值

7.2.2 拉格朗日乘數法

（1）構造拉格朗日函數$F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi (x, y)$

（2）將$F(x, y, \lambda)$分別對$x, y, \lambda$求偏導數，獲得下列方程組

$$\left\{ \begin{aligned} F_x &= f_x(x, y) + \lambda \varphi _x(x, y) = 0 \\ F_y &= f_y(x, y) + \lambda \varphi _y(x, y) = 0\\ F_\lambda &= \varphi (x, y) = 0 \end{aligned} \right.$$

求解此方程組，解出$x_0, y_0, \lambda$則$(x_0， y_0)$是$z = f(x, y)$在條件$\varphi(x, y) = 0$下可能的極值點

（3）判別駐點 (x0,y0) $(x_0,y_0)$是否爲極值點（利用無條件極值的充分條件）