高等數學：第八章 多元函數微分法及其應用（2）多元複合函數求導法 隱函數的求導公式 微分法在幾何上的應用

§8.4  多元函數求導法則less

【定理】若函數及都在點可導;函數

函數在對應點具備連續偏導數,spa

則複合函數在點可導,且其導數爲變量

                           (1)file

證實:設得到增量,這時的對應增量爲,函數的對應增量爲。sso

據假定,函數在點具備連續偏導數,從而有方法

這裏,當時,。im

上式兩邊除以得img

而當時,有 ,從而co

因此

故複合函數  在點可導,其導數可用(1)式計算。

用一樣的方法,可把定理推廣到複合函數的中間變量多於兩個的情形。

例如, 設  與 複合而獲得

函數 。

若在點可導,

對具備連續偏導數,

則複合函數 在點可導, 且

                       (2)

在公式(1)與(2)中的導數稱爲全導數。

上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情形。

例如, 設與 複合而獲得

函數 ,

若 在點 具備對及的偏導數,

函數在對應點具備連續偏導數,

則在點的兩個偏導數存在, 且

                               (3)

事實上,求時,看做常量,所以中間變量及仍可看做一元函數而應用上述定理。但均是的二元函數,因此應把(1)式中的直導數記號改成偏導數的記號,再將換成,這樣便獲得了(3)式。

相似地, 設及均在點具備對及的偏導數,而函數在對應點具備連續偏導數,則複合函數

在點的兩個偏導數都存在,且

                    (4)

例如,若有連續偏導數,而偏導數存在,則複合函數  可看做上述情形中當的特殊情形, 所以

(4)式變成

等式兩邊均出現了或,儘管記號同樣,但其意義有本質的差異,以第一式加以闡明:

左邊的是將複合函數中的看做常數,而對求偏導數；

右邊的是把函數中的及看做常數,而對求偏導數。

所以,爲了不麻煩, 咱們每每將上述兩式的形式寫爲

由該複合函數變量間的關係鏈，可對此求（偏）導數法則做以下解釋：

求,可沿第一條線路對求導, 再沿第二條線路對求導, 最後把兩個結果相加。

而沿第一條線路對求導,至關於把分別視爲常量,就成了的函數,而又是的函數,求導結果天然是 ( 這與一元複合函數求導法則很相似)；

而沿第二條線路對求導,至關於把分別視爲常量,就成了的函數,而又是的函數,求導結果天然是。

上述變量關係圖象一根鏈子,它將變量間的相互依賴關係形象地展現出來。對某個變量求導,就是沿企及該變量的各條線路分別求導,並把結果相加,這一法則稱之爲鎖鏈法則。

這一法則可簡單地歸納爲

【例1】設 , 而 , , 求和。

解:  

【例2】設而,求與。

解:  

§8.5  隱函數的求導公式

1、二元方程所肯定的隱函數的情形

由二元方程可肯定一個一元的隱函數,將之代入原方程,獲得一個恆等式

對恆等式兩邊關於變量求導,左邊是多元複合函數,它對變量的導數爲

右邊的導數天然爲,因而有

解出,獲得隱函數的導數 。

由多元複合函數的求導定理可知,當在具備一階連續偏導數,而在可導時,纔可求出複合函數的導數,若時,纔有

這一求導方法,實際上就是以往的直接求導數。

2、由三元方程所肯定的二元隱函數的偏導數

既然二元方程能夠肯定一個一元的隱函數,那麼三元方程即可肯定一個二元的隱函數。下面,咱們介紹用直接求導法求此函數的偏導數。

對兩邊關於變量求偏導,並注意是的函數,有

解出,獲得二元隱函數的偏導數 。

相似地，可獲得

,      。

【例1】設 , 求 。

解: 將方程中的視爲的隱函數,對求偏導數有

再一次對求偏導數,仍然將視爲的隱函數有

也能夠用下述方法來求二階偏導數

對兩邊關於求偏導數,注意到均爲 的函數,有

3、由兩個函數方程所肯定的隱函數的導數

設有函數方程組

由此聯立的方程組可消去一個變量,這樣便獲得由三個變量所構成的函數方程,而三元函數方程可肯定一個二元隱函數 ,將之代入方程組的其中一個,獲得另外一個三元方程,因而,咱們也可將變量表示成的隱函數。

綜上討論,由方程組

可肯定兩個二元的隱函數,將之代入上述方程組獲得恆等式

對此恆等式兩邊關於變量求導,有

解此關於的方程組,求出 與 。

相似地, 可求出與 。

【例2】設,求及。

解: 對方程兩邊關於求導, 注意到是的隱函數, 有

，     

下面解此關於的方程組

將第一式乘以,第二式乘以,再將兩式相加得

將第一式乘以,第二式乘以,再將兩式相減得

同理,將所給方程對求導有

解此方程組得

固然,這裏天然要求條件   是成立的。

§8.6  微分法在幾何上的應用

1、空間曲線的切線與法平面

一、曲線由參數方程給出的情形

設空間曲線的參數方程爲

                            (1)

假定(1)式中的三個函數都可導。

考慮上對應於的一點及對應於的鄰近一點,其割線的方程爲

對等式同除以得

當時,,曲線在點處的切線方程爲

                             (2)

這裏天然假定了  不能都爲零。

切線的方向向量稱爲曲線的切向量,向量

就是曲線在點處的一個切向量。

過點與切線垂直的平面稱爲曲線在點處的法平面,它是過點,以爲法向量的平面,此法平面方程爲

         (3)

二、曲線由特殊參數方程給出的情形

  此方程可看做  

若在處可導,則,曲線在點處的切線方程爲

                                 (4)

曲線在點處的法平面方程爲

              (5)

三、曲線由通常方程給出的情形

是曲線上的一點,此函數方程組可肯定是的隱函數,即曲線可用(隱式)方程  來表示。

由第2部分的討論,如今的關鍵是求。

將看做的隱函數，方程兩邊分別對求導數,可得

     ð    

ð  

ð   

ð     ð  

相似地,有

曲線在點處的切向量原本爲,但也可取向量

即  

曲線的切線方程爲

                         (6)

曲線的法平面方程爲

   (7)

固然,上述推導須要一些條件,具備一階連續偏導數,且

中至少有一個不爲零。

【例1】求曲線

在點處的切線方程與法平面方程。

解: 

曲線的切線方程爲   

曲線的法平面方程爲  

2、曲面的切平面與法線

一、曲面方程由給出的情形

設曲面由方程

                                        (9)

給出,是上的一點,假設函數的偏導數在該點連續且不一樣時爲零。

在上,過點任意引一條曲線,設它的參數方程爲

對應於參數,且不全爲零。

則曲線在點的切線方程爲

下證事實:

上過點且具備切線的任何曲線 ,它們在點處的切線均位於同一平面。

由於曲線在曲面上,故有

據假設有  ，即

     (10)

引入向量

(10)式代表：。

由於是過點且在上的任意一條曲線,它們在點的切線均垂直於同一非零向量,因此,上過點的一切曲線在點的切線都位於同一個平面上。

這個平面稱爲曲面在點的切平面,其切平面方程爲

       (11)

過點而垂直於切平面(11)的直線稱爲曲面在該點的法線,其法線方程爲:

                (12)

曲面在一點的切平面之法向量稱爲曲面在該點的法向量,所以,向量

即是曲面在點處的一個法向量。

二、曲面方程由給出的情形

若曲面由方程

給出,令 

則  

當偏導數在點連續時,曲面在點的切平面方程爲

                            (14)

曲面的法向量有兩個

對於第一式,法向量的方向餘弦爲

由,法向量與軸正向的夾角應爲銳角,故此法向量的指向是朝上的。天然地,另外一個法向量的指向是朝下的。

(13)式具備鮮明的幾何意義

方程的右端剛好是函數在點處的全微分；

方程的左端是切平面上點的豎座標的增量。

特別地,當  時

曲面在點處的切平面爲,此切平面平行於座標面,即曲面在點處具備水平的切平面。

【例2】求球面在點處的切平面及法線方程。

解: 

切平面方程爲

法線方程爲

由於點在法線上,可見法線經過球心。

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