高等數學：第八章 多元函數的微分法及其應用（4）多元函數求導法則

§8.4  多元函數求導法則less

【定理】若函數及都在點可導;函數

函數在對應點具備連續偏導數,spa

則複合函數在點可導,且其導數爲class

                           (1)變量

證實:設得到增量,這時的對應增量爲,函數的對應增量爲。file

據假定,函數在點具備連續偏導數,從而有sso

這裏,當時,。方法

上式兩邊除以得im

而當時,有 ,從而margin

因此

故複合函數  在點可導,其導數可用(1)式計算。

用一樣的方法,可把定理推廣到複合函數的中間變量多於兩個的情形。

例如, 設  與 複合而獲得

函數 。

若在點可導,

對具備連續偏導數,

則複合函數 在點可導, 且

                       (2)

在公式(1)與(2)中的導數稱爲全導數。

上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情形。

例如, 設與 複合而獲得

函數 ,

若 在點 具備對及的偏導數,

函數在對應點具備連續偏導數,

則在點的兩個偏導數存在, 且

                                (3)

事實上,求時,看做常量,所以中間變量及仍可看做一元函數而應用上述定理。但均是的二元函數,因此應把(1)式中的直導數記號改成偏導數的記號,再將換成,這樣便獲得了(3)式。

相似地, 設及均在點具備對及的偏導數,而函數在對應點具備連續偏導數,則複合函數

在點的兩個偏導數都存在,且

                    (4)

例如,若有連續偏導數,而偏導數存在,則複合函數  可看做上述情形中當的特殊情形, 所以

(4)式變成

等式兩邊均出現了或,儘管記號同樣,但其意義有本質的差異,以第一式加以闡明:

左邊的是將複合函數中的看做常數,而對求偏導數；

右邊的是把函數中的及看做常數,而對求偏導數。

所以,爲了不麻煩, 咱們每每將上述兩式的形式寫爲

由該複合函數變量間的關係鏈，可對此求（偏）導數法則做以下解釋：

求,可沿第一條線路對求導, 再沿第二條線路對求導, 最後把兩個結果相加。

而沿第一條線路對求導,至關於把分別視爲常量,就成了的函數,而又是的函數,求導結果天然是 ( 這與一元複合函數求導法則很相似)；

而沿第二條線路對求導,至關於把分別視爲常量,就成了的函數,而又是的函數,求導結果天然是。

上述變量關係圖象一根鏈子,它將變量間的相互依賴關係形象地展現出來。對某個變量求導,就是沿企及該變量的各條線路分別求導,並把結果相加,這一法則稱之爲鎖鏈法則。

這一法則可簡單地歸納爲

【例1】設 , 而 , , 求和。

解:  

【例2】設而,求與。

解: