《離散數學中「羣」的概念》

時間 2021-01-11 標籤離散數學羣

離散數學中羣的概念

說起羣，首先要引出一個更大的概念——代數系統（什麼是代數系統就不解釋了…），其中在概念上來看，代數系統>廣羣>半羣獨異點>羣。

設【<G,*>】是一個代數系統，其中G是一個集合，*是一個任意的二元運算符：

若滿足*運算在G中封閉（對於所有G中a和b，運算a.b的結果也在G中），則代數系統【<G,*>】是廣羣。
在廣羣的基礎上，如果【<G,*>】符合以下性質，則是半羣：

結合律：對於所有G中的a和b和c，等式(a.b)·c=a·(b·c)成立。
在半羣的基礎上，如果【<G,*>】符合以下性質，則是獨異點（幺半羣）：

存在單位元（幺元）：存在G中的一個元素e，使得對於所有G中的元素a，總有等式e·a=a·e=a成立(類似於乘法中的1和加法中的0)。
在獨異點的基礎上，如果【<G,*>】符合以下性質，則是羣。

存在逆元：對於每個G中的元素a，存在G中的一個元素b使得總有a·b=b·a=e，此處e爲單位元（類似乘法中的6和1/6，加法中的6和-6）。

綜上，若一個代數系統【<G,*>】

則稱<G,*>是一個羣。

【整數乘法】就只是一個半羣，而不是羣，因爲他不能保證每一個元素都有逆元（6和1/6，但是1/6並不是整數）

但值得一說的是【實數乘法】也不是羣，僅僅是因爲0沒有單位元（幺元）。

交換羣（阿貝爾羣）：

羣運算的次序很重要，把元素a與元素b結合，所得到的結果不一定與把元素b與元素a結合相同（比如說矩陣乘法）；即滿足交換律的羣稱爲交換羣，不滿足交換律的羣稱爲非交換羣（非阿貝爾羣）
循環羣：

羣G自身便是它的一個生成元集，是能由單個元素所生成的羣。

例如<2,4,8,16…>
對稱羣：

它的元素是所有X到X自身的雙射，設X是一個集合（可以是無限集），X上的一個雙射（既是單射又是滿射）：a:X→X（即是置換）。集合X上的所有置換構成的族記爲S(x)，S(x)關於映射的複合運算構成了一個羣，當X是有限集時，設X中的元素個數爲n，則稱，羣S(x)爲n次對稱羣。（備註，對稱羣的數學定義還是沒有完全弄懂，從圖形上來講，可能類似於正方形的旋轉和反射操作）
置換羣：

n元對稱羣的任意一個子羣，都叫做一個n元置換羣，簡稱置換羣。
李羣

指具有羣結構的光滑微分流形，其羣作用與微分結構相容。李羣是連續的羣，也即其元素可由幾個實參數描述。因此，李羣爲連續對稱性的概念提供了一個自然的模型，例如三維旋轉對稱性。李羣被廣泛應用於現代數學和物理學。（李羣沒搞懂…姑且先粘上定義吧…）

羣的概念產生自多項式方程的研究（簡單說就是爲了解多次方程）：

在以後的幾個世紀裏，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結果。
1770年前後，法國數學家拉格朗日提出【方程根的排列與置換理論】是解代數方程的關鍵所在，促進了代數方程論的進步。但是這種方法卻不能對一般五次方程作根式解。
隨後，挪威數學家阿貝爾證明了一元二次，三次和四次方程都有求根公式，但是一般的五次方程卻無求根公式，並給出了【高於四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解】的證明。阿貝爾解決了構造任意次數的代數可解的方程的問題，並且在研究中已經涉及到了羣的一些思想，只是阿貝爾沒能意識到。
法國數學家伽羅瓦在這樣的背景下，提出了羣的概念，用羣的理論徹底解決了根式求解代數方程的問題。

根式解：如果一個方程的係數經過有限次的加、減、乘、除以及開整數次方等運算表示出來，就稱爲這個方程存在根式解。

比如

就是二次方程的根式解。

一、二、三次代數方程都有根式解。

化學：

從羣論中的Burnside引理出發，得到的波利亞計數公式對組合計數非常有用，常用於分析化學上的同分異構體。
材料學：

晶粒作爲陶瓷材料的單元，因此，對晶粒的研究可得到獲得新的材料性能的思路。通過對這些具有一定力學性能、物理性能的材料的微觀本質的分析，可以反過來利用對稱羣分析看看可以通過如摻雜等哪些方式來改變晶體的晶格以獲得性能更佳、物理效應更顯著的晶體。
圖論：

求解不同構的圖的數目，項鍊問題，染色問題等等。
Lie 羣在機械中的應用：

李羣的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，其結合了羣論和分析數學，能很好的描述分析數學結構中的對稱性。對這類羣的分析又叫調和分析。在機器人的控制，最優控制、參數優化中均有作用。
基礎物理：

羣論提供了特殊的表, 稱爲字符表,
用來預測分子的對稱性對其振動模式和其他重要性質的影響。
用羣論研究糾錯碼（通信理論，數據傳輸、密碼學）
在組合數學中，交換羣和羣作用常用來簡化在某些集合內的元素的計算。
後來羣論廣泛應用於各個科學領域。凡是有對稱性出現的地方，就會有它的影子，例如物理學的超弦理論。

交換羣和羣作用常用來簡化在某些集合內的元素的計算。