【考研筆記】數學一 · 高等數學

考研一戰順利上岸啦，報考專業計算機科學與技術，考的數一英一。現在離開學還有段時間，所以趁機把自己的筆記都整理一下，希望可以幫到一些備考的同學。

寫在前面：

1. 首先說一下自己的複習計劃跟想法。數一今年有點難，我也考得不是很高分，不過我也總結了一些不足之處，或許會有幫助。
   我看的網課是：湯家鳳高數基礎班+李永樂線代+張宇高數/概率論強化班。
   使用的教材是：課本+湯家鳳1800+李永樂線代+張宇高數18講+張宇概率論9講。
   
   (1) 前期打基礎階段：我跟的是湯神的基礎班，收穫很多，這個階段算是對數學從一個遺忘到熟悉的過程。
   個人看課的流程就是(請勿模仿)：看網課，看課本，做課本習題。看完全部基礎課之後，又開始做1800基礎題。這個過程花的時間實在太多了，網上說是打基礎多花點時間沒關係，但是效果實在不大。
   我個人的建議是在課本習題跟1800的基礎題兩者之中選一個做就好了。至於1800的強化題，我感覺不是很有必要做，直接進入教材的強化階段就好。
   
   (2) 暑期強化階段：一般暑期就要進入強化階段了，這個階段需要使用教材，比如高數18講、閉關修煉之類的(這兩個也是我用的)。我看的是張宇老師的強化課，課不多，宇哥講得生動，所以聽起來還蠻有趣的。
   這個階段是我把各個知識點深入理解或牢牢記住的過程。說實話，收穫是有的，基礎夯實了很多，也跟着宇哥學到了一些巧妙的解法。
   但是後期做真題的時候，感覺自己的基礎還是不夠。所以如果重來一次的話，我可能會選擇做複習全書跟660，抱緊永樂大帝大腿。
   
   (3) 真題階段：10月份左右要開始真題，刷完之後開始模擬題，模擬題我只做了李林的，最後一道也沒押到，血虧，如果重來我絕對不選李林。
   真題部分我也做了一點總結，後續再整理在另一篇博客裏。
   
2. 這些筆記是我在複習時總結的，適合有點基礎的同學複習或者查漏補缺閱讀。因爲我沒有將筆記記得十分詳細，大多數是標記一些個人覺得重要的知識點，以及對部分難點的個人想法，建議使用ctrl+f 有針對性地查找、閱讀。
3. 筆記中的「18講」指張宇高數18講。

一、外部資料

這部分是一些我收集的網上的學習資料，當初看到的時候覺得可能會用到，所以一直保存着。不過後來發現我連教材都看不完(殘念~)。

1. 待定係數法：https://baijiahao.baidu.com/s?id=1611637003912949194&wfr=spider&for=pc
2. 高數吧-極限知識總結：
   https://tieba.baidu.com/p/5906863580?pid=122340965240&cid=&red_tag=0525843440#122340965240

二、筆記正文

1. 判斷有界：若定義域內有界，除了間斷點處，還要考慮趨於定義域邊緣時的情況，見18講例2.7；
2. 利用定積分求極限：（ $i$i從0累加到 $n$n）努力湊出 $i/n$i/n（作爲 $x$x）和 $1/n$1/n（作爲 $dx$dx），見18講例2.9.（3）；
3. 負數移入根號內時注意符號，如果是求極限或者積分建議直接換元，見18講例2.15；
   【注：當 $x＜0$x＜0時，要使用代換 $t=-x$t=−x化爲常見的情況，或用 $-x$−x同時除分子、分母，這樣纔不會出現正負上的錯誤。】
4. $lnt$lnt跟 $1/t$1/t在同個式中使用洛必達時，注意 $lnt$lnt在分子， $1/t$1/t在分母，見18講例2.17；
5. 使用等價無窮小代換的條件：分子分母均爲等價無窮小；
6. $1^{∞}$1∞型： $lim{u^v} = e^{lim{[ (u-1)v ]}}$limuv=elim[(u−1)v]；
7. 利用泰勒公式確定式子中參數的值：題中給出的高階無窮小是第幾項就泰勒展開到第幾項，比如給出 $o(x^{3})$o(x3)，就展開 $e^x = 1+Ax+Bx^2+Cx^3+o(x^3)$ex=1+Ax+Bx2+Cx3+o(x3)，講18講例2.33；
8. 無窮小量的0次方等於1，見18講例2.8；
9. 高數18講第2講習題摘抄：2.1、2.8；
10. 計算極限時，可以使用無窮小相加的公式，見閉關修煉1.1.7；
11. 計算抽象型函數極限時注意放縮，見閉關修煉例1.1.30；
12. 閉關修煉第1講習題摘抄：1.1.30、1.1.33、1.1.41、1.1.44 ~ 1.1.49、1.1.53；
13. 脫帽 & 戴帽；
14. 多項相乘時，把點代入，看看哪一項的值跟其他項不同；
15. 方程難解時考慮轉換成對數或者其他形式進行求解。
16. 微分的線性主部：研究的整體求導纔是A，見閉關修煉例1.2.15；
    函數在點 $x_0$x0​可微，記$ dy = AΔx$ ，稱爲函數的微分，又稱爲函數的線性主部。
17. 需要求出隱函數的解時，多嘗試畫圖，見閉關修煉例1.2.19；
18. 記住結論：設 $f(x)$f(x)在 $x=a$x=a處連續， $F(x)=f(x)|x-a|$F(x)=f(x)∣x−a∣，則 $f(a)=0$f(a)=0是 $F(x)$F(x)在 $x=a$x=a處可導的充要條件，見閉關修煉例1.2.11；
19. 十字相乘法：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數，最後要橫寫因式，見閉關修煉例1.2.31；
20. 求極限時及時提出常數，見閉關修煉例1.2.22(2)；
21. 注意數形結合題，極值點是一階導數正負改變，拐點是一階導數單調性改變，見閉關修煉例1.2.55；
22. 判別極值&拐點的第三充分條件，見18講P83~P84；
23. 求三點時注意不可導的點！
24. 就算函數在定義域上單調遞增，求範圍時也應該求上限，即求x趨於正無窮的極限；
25. 求開區間上的最值時，要求函數趨於端點的極限；
26. 高數18講第3講習題摘抄：例3.8；
27. 去掉根號跟絕對值要注意符號，具體根據題意進行判斷，有必要時需要畫圖，見閉關修煉1.2.67；
28. 拐點是一個點，要寫成 $(x,y)$(x,y)的形式，見閉關修煉1.2.52；
29. 同一方向上水平漸近線與斜漸近線不可並存；
30. 若用某一條曲線在某點代替另一條曲線，則在該點處，兩條曲線函數值相同、斜率相同、曲率相同，見閉關修煉1.2.64；
31. 高數18講第4講習題摘抄：例4.1、例4.3*、例4.5* ~ 4.7*(兩個未知數求解只需要兩個方程)；
32. 帶拉格朗日餘項的一階泰勒公式：這裏的階數不包括餘項；
33. 薄弱的知識點*：中值定理（難點）、微分不等式、積分等式&不等式、多元微分學-隱函數存在定理、多元微分學-隱函數求導（什麼時候不能用公式法）、多元微分學-極值判別方法失效的處理方法、多元微分學-判斷偏導數連續、二重積分計算、二重積分求導、常微分方程的應用（原理不難，多做題熟悉）、第一型曲線積分&第一型曲面積分；
34. 需要背誦的公式：求導公式、基本積分公式、三角函數、曲率公式、高階求導公式、泰勒公式、基本不等式、絕對值不等式、經典不等式(18講第6講)、有理函數積分的原則、定積分區間簡化公式、弧長&扇形公式、數量積&向量積&混合積及其幾何意義、線&面方程及其切向量、角度(線線、面面求得的都是cos，線面爲sin)與距離的求法(點到直線)、梯度&方向導數&散度&旋度(平面上的旋度：格林公式)、一二型曲線曲面積分相關公式、曲線(切向量)&曲面(法向量)、傅里葉級數相關公式；
35. 
36. 高數18講第5講習題摘抄：例5.3、例5.4、例5.8 ~ 5.9、例5.14 ~ 5.17*、例5.23(保號)、習題5.2、5.5、5.7；
37. 任何實係數奇次方程至少有一個實根，見18講P111；
38. 高數18講第6講習題摘抄：例6.2、例6.6、例6.12、習題6.4；
39. 定積分的幾何意義，若爲x軸下方的圖形，注意得從a到b（即按順序）纔是負數。
    【18講原文：若 $f(x)<0$f(x)<0，曲邊梯形就在x軸下方，定積分的絕對值仍等於曲邊梯形的面積，但定積分的值是負的。】
40. 閉關修煉第2講習題摘抄：1.2.2、1.2.5、1.2.9*、1.2.16(2)、1.2.31*、1.2.23、1.2.33、1.2.36、1.2.53、1.2.57、1.2.64、1.2.67、1.2.70、1.2.74 ~ 1.2.74、1.2.77 ~ 1.2.79、1.2.81、1.2.85 ~ 1.2.88、1.2.90、1.2.93；
41. 判斷函數是否具有原函數：1）連續必有原函數；2）看間斷點類型，除了振盪間斷點，其他都沒有原函數。
42. 判斷函數是否有定積分：1）連續必有定積分；2）有原函數，有界；
43. 連續的偶函數 $f(x)$f(x)的原函數中僅有一個原函數爲奇函數，當 $∫_0^a f(u)du = 0$∫0a​f(u)du=0，證明見18講例7.6；
44. 求定積分，根號中最高項爲平方項時，注意配方法，見18講例7.49；
45. 換元時要注意上下限有無超出界限，但一般來說不用過分在意細節，見18講例7.28；
46. 原函數如果是奇函數，則反函數也是奇函數。原函數是非奇非偶函數，則反函數也是非奇非偶函數。原函數是偶函數的話，則沒有反函數。
47. 高數18講第7講習題摘抄：例7.15 ~ 例7.16、例7.20、例7.29、例7.41、例7.55、習題7.6、習題7.13、習題7.17、習題7.21；
48. 複習表格積分法；
49. 計算參數方程的定積分，考慮使用換元法，見閉關修煉1.3.98；
50. $y_n = (1/n)*sin(nx)$yn​=(1/n)∗sin(nx)在0到2π上的弧長與n無關，是個定值，見1.3.121；
51. 物理應用時注意位移距離；物體與水的密度相同，在水下不做功；
52. 曲線 $y=y1(x)>=0$y=y1(x)>=0與 $y=y2(x)>=0$y=y2(x)>=0及 $x=a，x=b(a<b)$x=a，x=b(a<b)所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一週得到的旋轉體體積：公式裏是 $y_1(x)$y1​(x)的平方減去 $y_2(x)$y2​(x)的平方，不是和平方，見18講P163；
53. 高數18講第8講習題摘抄：例8.6(強行結合極限)、例8.8、例8.3(二次函數的兩點式方程)；
54. 閉關修煉第3講習題摘抄：1.3.2、1.3.5*、1.3.8、1.3.12、1.3.14 ~ 1.3.15*、1.3.18(熟記廣義反常積分)、1.3.21*、1.3.23*、1.3.25*(倒代換)、1.3.33(熟記有理積分原則)、1.3.35、1.3.52(換元得出對稱區間，利用幾何性質求定積分)、1.3.55 ~ 1.3.56、1.3.64、1.3.65*(原函數關係) ~ 1.3.67、1.3.76 ~ 1.3.78、1.3.81、1.3.94 ~ 1.3.96(注意審題)、1.3.98 ~ 1.3.99、1.3.110(2)、1.3.112、1.3.118、1.3.120* ~ 1.3.122*、1.3.124*、1.3.125 ~ 1.3.127**、1.3.128、1.3.131**、1.3.137；
55. 無論z對誰求導，也無論z已經求了幾階導，求導後的新函數仍然具有與原函數完全相同的複合結構；見18講P187；
56. 若函數 $z=f(x,y)$z=f(x,y)的二階偏導數 $f''_{xy}(x,y)$fxy′′​(x,y)， $f''_{yx}(x,y)$fyx′′​(x,y)在點 $P_0(x_0,y_0)$P0​(x0​,y0​)處都連續，則 $f''_{xy}(x_0,y_0)=f''_{yx}(x_0,y_0)$fxy′′​(x0​,y0​)=fyx′′​(x0​,y0​)；
57. 高數18講第10講習題摘抄：例10.3、例10.8*(偏微分方程)、例10.13、例10.14、例10.17(判別方法失效例子)、例10.18 ~ 例10.19、習題10.1、習題10.3*(驗證極限不存在：使用 $y=kx$y=kx；若驗證存在則不能這樣使用；)、習題10.11 ~ 10.13；
58. 泰勒級數&冪級數(暫且這樣理解)：泰勒展開是冪級數展開的有限版，冪級數是泰勒展開的無窮版；
59. 閉關修煉第4講習題摘抄：1.4.2、1.4.4*、1.4.5(D選項混淆了一元函數極限與一階偏導連續的概念)、1.4.7、1.4.14(第2小問注意多層複合求導)、1.4.18 ~ 1.4.22**(多元泰勒公式)、1.4.26、1.4.30(偏增量定義，△x的高次方視爲△x的高階無窮小，不用在意)、1.4.32(微分方程不夠熟練)、1.4.44**、1.4.35*；
60. 輪換對稱性：若把x與y對調後，區域D不變（或區域D關於 $y=x$y=x對稱），則 $∫∫_{D} f(x,y)dxdy= ∫∫_{D} f(y,x) dxdy$∫∫D​f(x,y)dxdy=∫∫D​f(y,x)dxdy，這就是輪換對稱性；
61. 二重積分：在極座標下，幾乎所有的計算都是先積r，後積θ；
62. sgn函數的定義、根號 $x^2+a^2$x2+a2：見18講例11.13；
    
63. 二重積分的中值定理：設 $f(x,y)$f(x,y)在有界閉區域D上連續， $σ_0$σ0​是D的面積，則在D內至少存在一點，使得
    
64. 高數18講第11講習題摘抄：P209注例1 ~ 注例2、例11.2*、例11.4*、例11.8、例11.11*** ~ 例11.18***、例11.21 ~ 例11.25*、習題11.8、習題11.10；
65. 閉關修煉第5講習題摘抄：1.5.5、1.5.11、1.5.14、1.5.15、1.5.18、1.5.20 ~ 1.5.21；
66. 解微分方程要大膽展開，看到 $dy/dx$dy/dx；
67. 解齊次型微分方程時要注意對數函數的定義域，在計算過程中，若出現 $ln(u)$ln(u)，且u不知正負，一律加絕對值，見18講例12.6；
68. 18講P227注：分母不爲0可能爲導致丟解，但《考試大綱》只要求求出通解，並不要求求出全部解；
69. $∫[1/(1+sinx)] dx$∫[1/(1+sinx)]dx：利用平方差公式化簡；
70. 高數18講第12講習題摘抄：例12.1、例12.12 ~ 12.15、習題12.1、習題12.2(圓形區域化爲其次方程再求導)、習題12.4；
71. 閉關修煉第6講習題摘抄：1.6.1*(結合微分定義)、1.6.5 ~ 1.6.6、1.6.11*、1.6.13、1.6.15、1.6.22(注意符號問題)、1.6.240；
72. 點到空間直線距離：已知直線L與點M：（1）求出空間直線的方向向量s，找出一個直線上的具體點M0；（2）利用向量積定義求出 $MM_0$MM0​與直線的夾角 $sinθ$sinθ，M到L的距離即 $MM_0*sinθ$MM0​∗sinθ；
73. 直線與平面的交點：利用參數方程；
74. 直線L在面π上的投影：過L且與π垂直的平面、與π的交線就是L在π上的投影線 $L_0$L0​；
75. 曲線在座標面上(比如yOz)的投影曲線：消去對應項(x)即可；
76. 求曲線繞軸旋轉所得的曲面方程：（1）寫出軸的方向向量s，在軸上選一點 $M_0$M0​ [具體值]，在緯圓（曲線）上選一點 $M_1(x_1,y_1,z_1)$M1​(x1​,y1​,z1​) [不要取具體值]和點 $P(x,y,z)$P(x,y,z)；
    （2）利用關係： $M_1P⊥s，|M_0M_1|=|M_0P|$M1​P⊥s，∣M0​M1​∣=∣M0​P∣，構造方程，把 $x_1$x1​, $y_1$y1​, $z_1$z1​按照關係替換成對應的xyz；
77. 將空間曲線化爲參數式方程：（1）投影到適當的座標平面，寫出對應投影曲線的參數方程
    （2）將得到的參數方程回代到原方程中，得到另一個座標的參數式寫法；
78. 高數18講第16講習題摘抄：例16.4、例16.6*、例16.11* ~ 16.13*、例16.16 ~ 16.17、例16.20*、例16.22、例16.25、習題16.4、習題16.7、習題16.11 ~ 16.13；
79. 證明空間曲面是柱面：可以轉換成證明該曲面任一點的法向量與一定直線垂直；
80. 欲求母線平行於z軸的柱面方程，只需求出xOy平面上的準線方程即可，而此準線就是C在xOy平面上的投影曲線，見18講習題16.4；
81. 問函數在哪個方向取得最大的方向導數時，方向用角度表示；
82. 求函數在空間某一點的最大變化率：即求梯度的模；
83. 三重積分(實心)、一型面 & 二型面(空心)、一型線 & 二型線(通常由切面切而得到)；
84. 高數18講第17講習題摘抄：例17.7 ~ 例17.10(此部分的題目計算較複雜，可以適當通過積分的可加性進行拆分逐一解決)、例17.11 ~ 例17.15、習題17.11、習題17.16；
85. 估計三重積分的值，聯想到被積函數的最值問題；
86. 三重積分：幾何意義是體積，求法按照先一後二或先二後一；
87. 第一型曲線積分：一投二代三計算，將被積函數的變量全部換成某一個，dxdy這些也要變；
88. 第一型曲面積分：一投二代三計算，投影到某個平面形成二重積分，注意投影的平面不要出現重點；
89. 重心 = 形心，當題幹出現密度均勻時，三心(前面兩者加上質心)相同；
90. 第二型曲線積分：（1）直接計算，參數方程時投到t上，注意範圍是從起點到終點；
    （2）格林公式：i：不封閉就補線；ii：存在奇點就挖去奇點，即圈出一條新的曲線，可以把分母設爲挖去的奇點區域；
91. 第二型曲面積分：（1）直接計算法，分別投影到三個平面，如dydz投影到yOz平面；（2）轉換成同個平面，轉換關係： $dydz/-Z_x' = dzdx/-Z_y' = dxdx/1$dydz/−Zx′​=dzdx/−Zy′​=dxdx/1，具體見18講P377；[轉換座標變量法並非常用的方法，視曲面方程而定，如果給定曲面爲平面、旋轉拋物面等簡單情況，可以考慮，原話見18講P379；]（3）利用法向量轉換成第一型曲面積分；以上轉換注意符號正負；
92. $e^t + e^-t$et+e−t：
    
93. 高數18講第18講習題摘抄：例18.3(不能拆成x與y方向，直接投成x計算)；例18.5 ~ 例18.6、例18.8(注意投影重點問題)、例18.11、習題18.3* ~ 習題18.4、習題18.7；
94. 平面束：明確不是哪一個面就讓那個面乘以λ，另一個面的係數爲1；
95. 最大變化率：
96. 方向餘弦角度的範圍：0~π；
97. 成反比： $y=k*(1/x)$y=k∗(1/x);
98. 第二型曲線積分求原函數：利用格林公式兩邊相等構造出常微分方程，或者採用折線法化成定積分求解；
99. $z=sqrt{(x^2+y^2)}$z=sqrt(x2+y2)：這個圓錐上任意一過頂點的直線和Z軸夾角相等，那就取 $Y=0， Z^2=X^2，Z=X$Y=0，Z2=X2，Z=X，則圓錐與Z軸45度；
100. 閉關修煉第8講習題摘抄：1.8.2、1.8.4、1.8.11、1.8.16、1.8.18、1.8.21、1.8.27、1.8.29 ~ 1.8.34、1.8.40**、1.8.45* ~ 1.8.47*(看到dV = 0.9S，先想辦法寫出V跟S的函數)、
     1.8.48(向量OP=(x,y),F⊥OP即相乘斜率爲-1，故向量F=±(-y,x)，又因爲夾角和y正向爲銳角，根據P(X,Y)知，x＞0，y＞0，-(-y,x)=(y,-x)在第四象限和y軸正向爲鈍角捨去，(-y,x)在第二象限滿足提體題意，故F=-yi+xj)、
     1.8.50(看不清楚L是什麼曲線，化成極座標就看清楚了)、1.8.58 ~ 1.8.59(關於選點：在x>0，即給定範圍內任取一點，最好取有一個座標爲0的點)、1.8.60* ~ 1.8.61*、1.8.64 ~ 1.8.66、1.8.67(銳正鈍負)、1.8.68、1.8.70(注意球面積分法φ的範圍)、1.8.74；
101. 無窮級數斂散性判別：必要條件、充要條件、p級數、等比級數；（1）正項級數：比較審斂法、比較審斂法的極限形式、比值審斂法、根值審斂法；（2）交錯級數：萊布尼茨判別法；（3）任意項級數：絕對收斂 & 相對收斂，絕對收斂必收斂；
102. 判斷級數審斂性的時候，先判斷級數類型(正項級數還是其他)；
103. 當 $x＞0$x＞0時，有 $x＞ln(1+x)$x＞ln(1+x)，所以對於任意正整數n，顯然也有 $1/n ＞ ln(1+1/n)$1/n＞ln(1+1/n)；
104. 正項級數審斂結論：（1）
     
105. 收斂級數的性質：（1）收斂級數的項任意加括號後所得的新級數仍收斂，且其和不變；（2）逆否命題：若加括號後的新級數發散，則原級數必然發散；（3）若加括號後得到的新級數收斂，不能斷言原級數一定收斂；（4）絕對收斂的級數具有可交換性；
106. 三角公式： $sin(α+nπ) = (-1)^n * sinα$sin(α+nπ)=(−1)n∗sinα；
107. 正項級數只談收斂和發散，當正項級數收斂時是沒有絕對收斂和條件收斂之分的；
108. 冪級數的收斂域：（1）具體型；（2）抽象型；見18講P264；
109. 冪級數求和函數的突破口：（1）當 $(an+b)^c$(an+b)c 在分母上時，先導後積；（1）當$(an+b)^c $在分子上時，先積後導；
110. 約定 $x^0 = 1$x0=1；
111. 等比級數的和 = 首項/(1 - 公比)，只要公比的絕對值＜1；
112. 高數18講第13講習題摘抄：例13.6 ~ 例13.8、例13.14、例13.16、例13.25*、習題13.1、習題13.5、習題13.12 ~ 13.13；
113. 泰勒展開就是冪級數，冪級數就是泰勒，因爲冪級數展開具有唯一性；
114. 無窮級數：始終不要忘記在解題過程中標註收斂域；
115. 閉關修煉第7講習題摘抄：全部；
116. 傅里葉級數：（1）狄利克雷收斂定理；（2）記住公式，求傅里葉係數，即 $A_0$A0​、 $a_n$an​、 $b_n$bn​；（3）正弦級數與餘弦級數；（4）延拓：將補充定義的手段叫做延拓；
117. 高數18講第14講習題摘抄：例14.16；

三、題型整理：

四、背誦公式整理：

1. 絕對值函數：18講P7；
2. 等價無窮小、因式分解：閉關修煉P4 ~ P5；
3. 泰勒公式 & 泰勒級數（其實是同個東西）：閉關修煉P20；
4. 不等式：閉關修煉P12；
5. 基本不等式：
   
   
6. 無窮小的運算：18講P29；
7. $1^∞$1∞公式： $lim(u^v) = e^{lim[ (u-1)v ]}$lim(uv)=elim[(u−1)v]，18講P43；
8. 取整函數的夾逼不等式：18講P45；
9. 基本求導公式：閉關修煉P18；
10. 泰勒求高階導數：閉關修煉P21例題；
11. 高階導數重要公式：18講P64；
12. 漸近線：閉關修煉P15；
13. 判斷根的個數：閉關修煉P32；
14. 導數祖孫三代關係：18講P67；
15. 一元積分學：周期函數公式：閉關修煉P38；
16. 定積分定義：基本形&放縮形&變量形：閉關修煉P40；
17. 定積分重要公式總結(區間簡化公式)：閉關修煉P48；
18. 原函數(不定積分)存在定理：18講P123；
19. 積分等式與積分不等式；
20. 多元函數微分學可微連續關係圖：閉關修煉P68；
21. 多元函數泰勒公式&極值：閉關修煉P69；
22. 判斷可微：18講P186；
23. 二重積分和式極限：閉關修煉P72；
24. 二重積分各種對稱：注意關於原點對稱與關於y=x對稱，閉關修煉P73；
25. 二重積分換元法：閉關修煉P80；
26. 二重積分定x，y的上、下限時，必須保證下限小、上限大，這是由其定義規定的；而累次積分並無此要求，18講P215；
27. 高階常係數微分方程通解&特解公式：18講P230；
28. 韋達定理；
29. 用換元法求解微分方程：閉關修煉P86，沒有給出方法，見例題；
30. 改變級數任意有限項，不會改變該級數的斂散性；
31. 收斂級數的性質：18講P248；
32. 冪級數&冪級數相等&冪級數的四則運算性質：18講P251；
33. 幾何級數：18講P254；
34. 求和函數突破口：18講P266；
35. 比較判別法的4個尺度：閉關修煉P92；
36. 判斂常用結論：閉關修煉P94；
37. 抽象型判斂：閉關修煉P97；
38. 狄利克雷&傅里葉的公式：閉關修煉P100；
39. 重要的距離公式：18講P323；
40. 旋轉曲面：18講P325；
41. 直線在面的投影：18講P332；
42. 方向導數&梯度&散度&旋度：閉關修煉P109；
43. 球面座標法：18講P347；
44. 橢圓面積計算公式：18講P357；
45. 兩類曲面積分的關係與轉換座標變量法：18講P377；
46. 高斯公式&斯托克斯公式；