高等數學：第八章 多元函數微分法及其應用（3）方向導數 梯度 多元函數的極值
§8.7 方向導數與梯度less
1、方向導數函數
一、定義spa
設函數
在點的某一鄰域內有定義,自點引射線,設軸正向到射線的轉角爲,爲鄰域內且在上的另外一點。變量
若比值file
這裏,當沿着趨向於時的極限存在,稱此極限值爲函數在點沿方向的方向導數,記做。sso
即 程序
二、方向導數的存在性條件(充分條件)及計算方法
【定理】若在點可微分, 則函數在該點沿着任一方向的方向導數都存在, 且有im
其中爲軸正向到方向的轉角。img
【證實】據在點可微分,有
【例1】求函數在點處沿從點到點的方向的方向導數。
解:軸到方向的轉角爲，而
在點處，有
故
注:方向導數的概念及計算公式,可方便地推廣到三元函數。
2、梯度
一、定義
設函數在平面區域內具備一階連續偏導數,那麼對於任一點,均可以定義向量
並稱此向量爲函數在點的梯度,記做。
即
二、方向導數與梯度的關係
設是方向上的單位向量,則
當方向與梯度方向一致時,,從而達到最大值；也就是說, 沿梯度方向的方向導數達到最大值。
另外一方面,
這代表:函數在點增加最快的方向與方向導數達到最大的方向(梯度方向)是一致的。
三、等高線及其它
二元函數在幾何上表示一個曲面,該曲面被平面所截得的曲線的方程爲
此曲線在面上的投影是一條平面曲線,它們在平面上的方程爲。
對於曲線上的一切點, 函數的值都是, 因此,咱們稱平面曲線爲函數的等高線。
【例2】曲面的等高線爲 (),
這些等高線爲同心圓。
【例3】做拋物線在面上的等高線。
運行matlab程序gs0801.m。
§8.8 多元函數極值及其求法
1、多元函數的極值
一、多元函數極值定義
設函數在點的某個鄰域內有定義,對該鄰域內異於的點,若是都適合不等式
則稱函數在點取極大值；
若是都適合不等式
則稱函數在點取極小值。
極大值與極小值統稱爲函數的極值；使函數取得極值的點稱爲極值點。
注:二元函數的極值是一個局部概念,這一律念很容易推廣至元函數。
【例1】討論下述函數在原點是否取得極值。
(1)、
(2)、
(3)、
解:由它們的幾何圖形可知:
是開口向上的旋轉拋物面,在取得極小值；
是開口向下的錐面,在取得極大值；
是馬鞍面, 在不取得極值。
二、函數取得極值的必要條件
【定理一】設函數在點具備偏導數且取得極值,則它在該點的偏導數必爲零,即
【證實】不妨設在點處有極大值。
依極值定義,點的某一鄰域內的一切點適合不等式
特殊地,在該鄰域內取,而的點,也應有不等式
這代表:一元函數在 處取得極大值,於是必有
同理可證
【注一】當時, 曲面在點處有切平面
此切平面平行於水平面面。
例如,在點取得極小值, 它在點處,
其切平面爲
即
此切平面就是(面)。
使同時成立的點,稱爲函數的駐點。
【注二】定理一代表,可(偏)導函數的極值點必爲駐點,反過來,函數的駐點卻不必定是極值點。例如,在點不取得極值,但倒是駐點。這告訴咱們,駐點僅僅是函數可疑的極值點,要判斷它是否真爲極值點,須要另做斷定。
【注三】偏導數或不存在的點也是函數的可疑極值點。
例如,在點有極大值,但
不存在。
固然,也不存在。
固然,定理一的結論也可推廣至元函數。
三、函數取得極值的充分條件
【定理二】設函數在點的某鄰域內連續,且有一階及二階連續的偏導數,又 ,記
, ,
則函數在處是否取得極值的條件以下
(1)、時具備極值,且當時有極大值,
當時有極小值；
(2)、時沒有極值；
(3)、時可能有極值,也可能沒有極值,需另做斷定。
對這必定理不做證實,僅介紹它的記憶之法:
【例2】求函數的極值。
解:函數具備二階連續偏導數, 故可疑的極值點只可能爲駐點,
先解方程組
求出所有駐點爲
再求二階偏導數
在點處,
函數取得極小值 ；
在點處,
函數不取得極值；
在點處,
函數不取得極值；
在點處,
函數取得極大值 。
2、多元函數的最值
一、有界閉區域上連續函數的最值肯定
若是二元函數在有界閉區域上連續,則在上一定取得最值。使函數取得最值的點既可能在的內部,也可能在的邊界上。
若函數在的內部取得最值,那未這個最值也是函數的極值。而函數取得極值的點使的駐點或使、不存在的點。
若函數在的邊界上取得最值,可根據的邊界方程,將化成定義在某個閉區間上的一元函數,進而利用一元函數求最值的方法求出最值。
綜合上述討論,有界閉區域上的連續函數最值求法以下:
(1)、求出在的內部,使,同時爲零的點及使或不存在的點；
(2)、計算出在的內部的全部可疑極值點處的函數值；
(3)、求出在的邊界上的最值；
(4)、比較上述函數值的大小,最大者即是函數在上的最大值；最小者即是函數在上的最小值。
【例3】求二元函數在矩形區域
上的最值。
解:
得駐點,且
在邊界 上,,
且
在邊界上, , 則
在邊界 上, , 則 ,
則 ；
在邊界上, , 因
, 故單調增長, 從而 。
比較上述討論, 有
爲最大值,
爲最小值。
二、開區域上函數的最值肯定
求函數在開區域上的最值十分複雜。
可是,當所遇到的實際問題, 據問題的性質可判定函數的最值必定在上取得,而函數在上又只有一個駐點, 那麼就能夠確定該駐點處的函數值就是函數在上的最值。
【例4】某廠要用鐵板作成一個體積爲立方米的有蓋長方體水箱, 當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能用料最省?
令
解方程組得惟一駐點 ,
據問題的實際背景, 水箱所用材料面積的最小值必定存在, 並在開區域內取得,又函數在內只有惟一的駐點, 所以, 可判定當 時, 取得最小值。
這代表: 當水箱的長、寬、高分別爲米時, 所用材料最省, 此時的最小表面積爲。
3、條件極值與拉格朗日乘數法
前面所討論的極值問題,對於函數的自變量,除了限制它在定義域內以外,再無其它的約束條件,所以,咱們稱這類極值爲無條件極值。
可是,在實際問題中,有時會遇到對函數的自變量還有附加限制條件的極值問題。
例如: 求體積爲2而表面積最小的長方體尺寸。
若設長方體的長寬高分別爲,則其表面積爲
這裏除了外,還需知足限制條件 。
象這類自變量有附加條件的極值稱爲條件極值。
有些實際問題,可將條件極值化爲無條件極值,如上例；但對一些複雜的問題，條件極值很難化爲無條件極值。所以,咱們有必要探討求條件極值的通常方法。
一、函數取得條件極值的必要條件
欲尋求函數 (1)
在限制條件 (2)
下的取得條件極值的條件。
函數如果在處取得條件極值,那麼它必知足方程(2),即
(3)
另外,方程(2)可肯定一個隱函數,將之代入(1)有
(4)
這樣,函數(1)在取得條件極值,也就至關於函數(4)在處取得無條件極值。
據一元函數取得極值的必要條件有
(5)
由(2)式有
代入到第(5)式有
(6)
由上面的討論可知,(3)與(6)即是函數在點取得條件極值的必要條件,只是這一式子的形式不夠工整,不便於記憶,爲此,咱們做適當的變形。
令 ，有
這三個式子剛好是函數
的三個偏導數在點的值。
二、拉格朗日乘數法
要求函數在限制條件下的可能極值點,可先做拉氏函數
再解方程組
求出點,這樣求出的點就是可疑條件極值點。
【註記】拉氏乘數法可推廣到通常元函數或限制條件多於一個的情形:
例如:求 在限制條件
下的極值。
做拉氏函數
解方程組
這樣求出就是可疑極值點的座標。
from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/