鏈接: https://github.com/TianLin0509/Hybrid-Beamforming-for-Millimeter-Wave-Systems-Using-the-MMSE-Criterion.

Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion

Author : 林田

摘要：

1. 首先提出了 ** manifold optimization-based HBF ** algorithm is first proposed， which is directly handled the constant modulus constrains of the analog component and proved its convergence.
2. For narrowband scenario, propose a low-complexity general eigenvalue decomposition-based HBF algorithm
3. For broadband scenario, propose three algorithms via the eigenvalue decomposition and orthogonal matching pursuit (正交匹配追蹤）

Contributions

• aiming at minimizing the modified MSE .

在寬帶場景下，挑戰是 數字預編碼 should be optimized for == different subcarriers == while the ** analog one ** is == invariant== for the whole frequency band. (數字需要根據不同的子載波設計，而模擬在整個頻帶中是保持不變的）。

1. 分解原始的 sum-MSE 最小化問題爲 傳輸混合預編碼 和接受合併設計兩個子問題，分析發現兩個子問題可以統一爲幾乎相同的表達式。
2. 首先針對模擬預編碼的常量模約束，採用MO方法。 不同於論文[18] X. Yu, J.-C. Shen, J. Zhang, and K. B. Letaief, 「Alternating minimization algorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems,」中採用的MO方法最小化混合預編碼與全數字預編碼之間的Euclidean 距離，本文采用MO直接最小化 sum-MSE。並且推出了更加複雜的Euclidean 共軛梯度。
3. 爲了降低MO算法的複雜度，提出了幾個低複雜度的算法，在窄帶場景，展現了模擬波束成形可以以 列到列的優化方式採用GEVD（general eigen-decomposition) 方法求解。
4. 在寬帶場景下，求出了原始目標函數的上界與下界，提出了兩種基於eigen-decomposition (EVD)的算法。

場景建模

端到端的窄帶毫米波MIMO場景：

通過Nt個發送天線以及Nr個接收天線對Ns個數據流進行傳輸。Ns X 1 的數據流首先經過基帶數字預編碼然後通過模擬預編碼VRF。

problem Formulation

本文采用最小化MSE作爲優化目標：

這個MSE也被稱爲 ** modified MSE** ，其中 $\beta$β爲標量因子，與混合預編碼一起優化，物理意義上是將接收到的信號放大/縮小一定的幅度， 使之更接近於原始信號。。 那麼爲什麼要引入 $\beta$β這個因子呢？

• 第一， 在傳統的MIMO波束成形研究中， 在設計預編碼矩陣的時候， 如果以原始的MSE（無 $\beta$β）爲目標， 會發現預編碼矩陣的設計與噪聲能量無關！ 這其實不符合MSE的初衷。 而如果引入ββ， 預編碼矩陣的解就與噪聲能量相關， 也因此可以達到更合理的性能。
• 第二， 從數學意義上而言， 混合波束成形問題中，需要求解四個矩陣，愈發複雜。 而以傳統MSE爲目標求解的時候， 考慮發送的功率約束， 需要引入拉格朗日乘子， 這個乘子非常難求，且影響後續對其他矩陣的設計。 而引入 $\beta$β後， 後面的推導會證明大大簡化了數學求解難度。
• 第三， 引入 $\beta$β後， 可以使得 固定接收端解發送端 和 固定發送端解接收端 兩個子問題可以化爲完全一致的形式， 也就可以用同樣的算法來求解了。
• （以上分析轉載於作者，鏈接:
  https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/108208409）.
  在研究點到點的傳輸系統中，接收端也會有波束賦形的操作，因此scaling也可以視爲在接收端完成。通過調整這個參數 $\beta$β以獲得更好的結果，同時能調整總傳輸能量約束。
  求解MSE:
  
  可以發現在噪聲項中也有參數 $\beta$β。
  同時模擬預編碼端需要滿足 每一個元素都要爲連續模約束: $|[V_{RF}]_{ik}|=1$∣[VRF​]ik​∣=1
  

問題求解

原式中存在五個變量，因此考慮分解爲兩個子問題。

混合傳輸設計

首先考慮優化混合預編碼以及 $\beta$β參數。原始 $V_B$VB​可以分解爲 $V_B=\beta V_u$VB​=βVu​，其中 $V_U$VU​是一個沒有歸一化的基帶預編碼。固定了W後，可以得到等效信道 $H_1=H^H W_RF W_B$H1​=HHWR​FWB​。

• 優化算法首先固定 $V_{RF}$VRF​找到最優的數字預編碼 $V_U$VU​，以及 $\beta$β，然後更新目標函數爲 $V_{RF}$VRF​，最終進一步通過最小化目標函數以及連續模約束優化 $V_{RF}$VRF​。
  
  可以發現第一個約束的等號一定成立，因此可以計算處
  $\beta=（V_{RF} V_U V_V^H V_{RF}^H）^{-1/2}$β=（VRF​VU​VVH​VRFH​）−1/2
  利用KKT條件，即將 $\beta$β帶入到目標函數中求導即可計算 $V_U$VU​的封閉式解。帶回原式推導得到基於 $V_{RF}$VRF​的MSE表達式
  

流行算法

求導過程

MO方法：爲了能夠處理連續模約束，Mo方法可以用於獲得局部最優 $V_{RF}$VRF​.。
流行優化也叫黎曼優化。

• 本質上是一種梯度下降法， 然而基本的梯度下降法是在整個歐式空間中進行下降， 因此無法保證下降後的解仍滿足 恆模約束， 所以無法直接用於求解 $V_{RF}$VRF​ 。
• 而流形優化， 則是首先將滿足恆模約束的所有可行解表示爲一個流形， 其後每步迭代後都將解映射回這個流形之上， 也因此可以確保結果永遠滿足恆模約束。
• 最重要的是， 已經有嚴謹的數學證明了這樣的迭代過程是嚴格收斂的， 因此可以將 流形優化 理解爲 在可行集上進行下降的梯度下降法。
• 要想使用流形優化， 你需要求解目標問題的梯度， 然後就可以在這個框架下用下降法求出一個解了。
  
  步驟4詳解：
• step1： 投影Euclidean梯度到切線空間上以獲得Riemannian梯度。
• step2： 在切線空間中沿着Riemannian梯度尋找最優點，採用Armijo-Goldstein確定步長
• 將尋找到的最優點縮回到流型中。

然而這個流形算法是基於梯度運算的，因此會產生很高的計算複雜度。

GEVD 方法

對於大尺度MIMO系統， 不同波束流的最優的模擬預編碼彼此之間是相互正交的，因此有 $V_{RF}^H V_{RF} \approx N_t I_{N_{RF}}$VRFH​VRF​≈Nt​INRF​​ （注意順序）
所以基於 $V_{RF}$VRF​的MSE可以簡化爲：
$J(V_{RF})=tr((I_{N_S} +\frac{1}{\sigma^2 w}H_1^HV_{RF}V_{RF}^HH_1)^{-1})$J(VRF​)=tr((INS​​+σ2w1​H1H​VRF​VRFH​H1​)−1)